Calcule as transformadas e transformadas inversas indicadas
mathscrL^-1e^-3 ss^2(s-1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de e^-3 ss^2(s-1). Esse é um problema de transformada de Laplace envolvendo deslocamento no tempo (teorema do segundo deslocamento). Vamos precisar do teorema e também calcular a transformada inversa de F(s)=1s^2(s-1).

Passo 2

Pelo teorema do segundo deslocamento, temos
mathscrL^-1e^-a sF(s)=f(t-a),u(t-a),
onde f(t)=mathscrL^-1F(s). Aqui a=3 e F(s)=1s^2(s-1). Então nosso objetivo agora é achar f(t).

Passo 3

Vamos decompor F(s)=1s^2(s-1) em frações parciais. Suponha
1s^2(s-1)=As+Bs^2+Cs-1
Multiplicando por s^2(s-1) e igualando coeficientes, obtemos o sistema
A+C=0, -A+B=0, -B=1.
Resolvendo, achamos A=-1, B=-1 e C=1.

Passo 4

Com isso
F(s)=-1s-1s^2+1s-1
Aplicando a transformada inversa termo a termo:
  • mathscrL^-11/s=1, então -1/smapsto -1.
  • mathscrL^-11/s^2=t, então -1/s^2mapsto -t.
  • mathscrL^-11/(s-1)=e^t.
    Logo,
f(t)=-1 - t + e^t

Passo 5

Finalmente, aplicando o deslocamento de tempo a=3, a transformada inversa pedida é
f(t-3),u(t-3)=l[-1-(t-3)+e^t-3r]u(t-3)=l(e^t-3-t+2r)u(t-3)

Resposta

$ (e^{t-3} - t + 2),u(t-3) $

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