Sejam A, B, C subset Omega conjuntos quaisquer e seja COmega B o complementar do conjunto B. Mostre que:
A subset B, se e somente se, A cup B=B, se e somente se, A cap B=A

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos três conjuntos dentro de um universo e o complementar de é denotado por . Precisamos mostrar que as seguintes afirmações são equivalentes:
Para resolver isso, vamos abordar cada equivalência passo a passo usando conceitos básicos de teoria de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que se , então .
Explicação: Se todo elemento de está também em , ao fazer a união de com , não adicionamos nenhum novo elemento a . Portanto, a união permanece igual a .
Formalmente:
Se , então para todo , . Assim, .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que se , então .
Explicação: Se a união de e resulta em , isso significa que não há elementos em que não estejam em . Portanto, todo elemento de está contido em .
Formalmente:
Se , então para todo , . Como , segue que .

Passo 4

Em seguida, vamos mostrar que se , então .
Explicação: Se , significa que todos os elementos de já estão em . Portanto, a interseção de com será exatamente , já que todos os elementos de estão em .
Formalmente:
Se , então . Logo, .

Passo 5

Finalmente, vamos mostrar que se , então .
Explicação: Se a interseção de com é igual a , isso significa que todos os elementos de estão também em . Portanto, está contido em .
Formalmente:
Se , então para todo , . Assim, .

Resposta

As afirmações , e são todas equivalentes entre si.

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