Sejam
conjuntos quaisquer e seja
o complementar do conjunto
. Mostre que:
, se e somente se,
, se e somente se,
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos três conjuntos
dentro de um universo
e o complementar de
é denotado por
. Precisamos mostrar que as seguintes afirmações são equivalentes:
Para resolver isso, vamos abordar cada equivalência passo a passo usando conceitos básicos de teoria de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que se
, então
.
Explicação: Se todo elemento de
está também em
, ao fazer a união de
com
, não adicionamos nenhum novo elemento a
. Portanto, a união permanece igual a
.
Formalmente:
Se , então para todo
,
. Assim,
.
Se
Passo 3
Agora, vamos mostrar que se
, então
.
Explicação: Se a união de
e
resulta em
, isso significa que não há elementos em
que não estejam em
. Portanto, todo elemento de
está contido em
.
Formalmente:
Se , então para todo
,
. Como
, segue que
.
Se
Passo 4
Em seguida, vamos mostrar que se
, então
.
Explicação: Se
, significa que todos os elementos de
já estão em
. Portanto, a interseção de
com
será exatamente
, já que todos os elementos de
estão em
.
Formalmente:
Se , então
. Logo,
.
Se
Passo 5
Finalmente, vamos mostrar que se
, então
.
Explicação: Se a interseção de
com
é igual a
, isso significa que todos os elementos de
estão também em
. Portanto,
está contido em
.
Formalmente:
Se , então para todo
,
. Assim,
.
Se
Resposta
As afirmações
,
e
são todas equivalentes entre si.