Sejam A, B, C subset Omega conjuntos quaisquer e seja COmega B o complementar do conjunto B. Mostre que:
A-B=A cap COmega B

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a diferença de dois conjuntos A e B se escreve como interseção de A com o complementar de B no universo Omega. O conteúdo é operações entre conjuntos: diferença e complemento.

Passo 2

Vamos lembrar as definições:
A - B = x in A:;x notin B
COmega B = x in Omega:;x notin B
Ou seja, A - B são os elementos de A que não estão em B, e COmegaB é o conjunto de todos os elementos de Omega que não estão em B.

Passo 3

Mostremos primeiro que A - B subseteq A cap COmega B. Seja x in A - B. Pela definição de diferença, temos x in A e x notin B. Como x notin B, então x in COmega B. Logo x in A e x in COmega B, ou seja, x in A cap COmega B.

Passo 4

Agora mostramos que A cap COmega B subseteq A - B. Seja x in A cap COmega B. Então x in A e x in COmega B, o que significa x notin B. Portanto x in A e x notin B, isto é, x in A - B.

Passo 5

Como demos as duas inclusões A - B subseteq A cap COmega B e A cap COmega B subseteq A - B, concluímos que os conjuntos são iguais.

Resposta

A - B = A cap COmega B

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