Sejam
conjuntos quaisquer e seja
o complementar do conjunto
. Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a diferença de dois conjuntos
e
se escreve como interseção de
com o complementar de
no universo
. O conteúdo é operações entre conjuntos: diferença e complemento.
Passo 2
Vamos lembrar as definições:
Ou seja,
são os elementos de
que não estão em
, e
é o conjunto de todos os elementos de
que não estão em
.
Passo 3
Mostremos primeiro que
. Seja
. Pela definição de diferença, temos
e
. Como
, então
. Logo
e
, ou seja,
.
Passo 4
Agora mostramos que
. Seja
. Então
e
, o que significa
. Portanto
e
, isto é,
.
Passo 5
Como demos as duas inclusões
e
, concluímos que os conjuntos são iguais.