Calcule as transformadas e transformadas inversas indicadas
mathscrL^-1ss^2+4 s+13

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de ss^2+4s+13. O conteúdo aqui é transformada inversa de Laplace e vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar as fórmulas para coseno e seno multiplicados por exponencial decrescente.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado no denominador para reconhecer a forma padrão. Temos:
s^2 + 4s + 13 = (s+2)^2 + 9 = (s+2)^2 + 3^2

Passo 3

Reescrevemos o numerador de modo a separar termos que geram coseno e seno. Note que s = (s+2) - 2. Assim:
ss^2+4s+13 = s+2(s+2)^2+3^2 - 2(s+2)^2+3^2

Passo 4

Agora usamos a tabela de transformadas inversas:
  • mathscrL^-1tfracs+a(s+a)^2+b^2 = e^-a tcos(bt).
  • mathscrL^-1tfracb(s+a)^2+b^2 = e^-a tsin(bt).
    Aqui a=2 e b=3. No segundo termo o numerador é 2, então escrevemos 2 = tfrac23cdot 3. Assim:
mathscrL^-1ls+2(s+2)^2+3^2r = e^-2tcos(3t),
mathscrL^-1l2(s+2)^2+3^2r = 23e^-2tsin(3t)
Aplicando a linearidade e o sinal negativo do segundo termo, obtemos a combinação final.

Passo 5

Combinando os dois resultados, chegamos em
mathscrL^-1lss^2+4s+13r = e^-2tcos(3t) - 23e^-2tsin(3t)

Resposta

e^-2tcos(3t) - tfrac23e^-2tsin(3t)

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