Calcule as transformadas e transformadas inversas indicadas
mathscrLu3(t) t^2

Passo 1

A gente quer achar a transformada de Laplace de u3(t),t^2. O assunto aqui é transformada de Laplace e o teorema do deslocamento em tempo. Para isso vamos precisar lembrar como funciona a função degrau unitário deslocada e como usar a linearidade da transformada.

Passo 2

Primeiro, note que u3(t) é a mesma coisa que u(t-3), ou seja, o degrau unitário que “liga” a função em t=3. O teorema do deslocamento em tempo diz que se a gente tem u(t-a),g(t-a), então
mathscrLu(t-a),g(t-a) = e^-a s,G(s)
onde G(s)=mathscrLg(t)

Passo 3

Para usar esse teorema, vamos expressar t^2 em termos de (t-3). Escrevendo t = (t-3)+3, temos
t^2 = l((t-3)+3r)^2 = (t-3)^2 + 6,(t-3) + 9

Passo 4

Logo,
u3(t),t^2 = u(t-3)l[(t-3)^2 + 6(t-3) + 9r]
Pela linearidade da transformada, basta calcular cada parte separadamente.

Passo 5

Aplicando o teorema do deslocamento em tempo a cada termo:
  • Para (t-3)^2: mathscrLu(t-3)(t-3)^2 = e^-3s,mathscrLt^2 = e^-3s,2!s^3 = e^-3s,2s^3
  • Para (t-3): mathscrLu(t-3)(t-3) = e^-3s,mathscrLt = e^-3s,1!s^2 = e^-3s,1s^2
  • Para 1: mathscrLu(t-3) = e^-3s,mathscrL1 = e^-3s,1s

Passo 6

Como havia um fator 6 no segundo termo e 9 no terceiro, somamos tudo:
mathscrLu3(t),t^2 = e^-3sgl(2s^3 + 6cdot1s^2 + 9cdot1sgr)

Resposta

mathscrLu3(t),t^2 = e^-3s(2s^3 + 6s^2 + 9s)

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