Calcule as transformadas e transformadas inversas indicadas
mathscrLf(t), f(t)= 1, & t<2 t, & 2 <= t<4 -t, & 4 <= t

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a transformada de Laplace da função por partes
f(t)=1 para 0<= t<2, f(t)=t para 2<= t<4 e f(t)=-t para t>=4. O conteúdo é transformada de Laplace de funções em pedaços e vamos usar funções de Heaviside e o teorema de deslocamento no tempo.

Passo 2

Representação usando Heaviside: escrevemos f(t) como soma de termos “ativados” em certos instantes. Notamos que para t<2 temos 1; em t>=2 adicionamos o termo t-1 para passar de 1 para t; em t>=4 subtraímos 2,t para ir de t a -t. Assim
f(t)=1 + (t-1),u(t-2) , -2t,u(t-4)

Passo 3

Aplicação da transformada: lembrando que
mathscrL1=1/s
mathscrL(t-a)u(t-a)=e^-as/s^2
mathscrLu(t-a)=e^-as/s
– linearidade e que cada termo lag é multiplicado por e^-as. Calculamos:
mathscrL1=1s, mathscrL(t-1)u(t-2)=e^-2sl(1s^2+1sr), mathscrL-2t,u(t-4)=-2e^-4sl(1s^2+4sr)

Passo 4

Somando e simplificando esses termos obtemos a expressão final da transformada de Laplace de f(t).

Resposta

mathscrLf(t)=1s+e^-2sl(1s+1s^2r)-e^-4sl(8s+2s^2r)

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