Calcule as transformadas e transformadas inversas indicadas
mathscrLf(t), f(t)= 0, & t<1 t, & 1 <= t<3 0, & 3 <= t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de uma função em pedaços definida por
f(t)= 0,&t<1, t,&1<= t<3, 0,&t>=3
O conteúdo aqui é a transformada de Laplace de funções limitadas em tempo, usando a definição integral ou funções de Heaviside.

Passo 2

Podemos reescrever f(t) usando funções de Heaviside (degraus) como
f(t)=tl[u(t-1)-u(t-3)r],
pois isso “liga” a função t apenas no intervalo de 1 a 3.

Passo 3

Pela definição, a transformada de Laplace é
mathscrLf(t)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt =integral1^3t,e^-st,dt,
pois fora de [1,3] f(t)=0.

Passo 4

Para calcular
integral t,e^-st,dt
usamos integração por partes ou tabela de integrais. O resultado geral é
integral t,e^-st,dt =-tse^-st-1s^2e^-st+C

Passo 5

Agora avaliamos entre t=1 e t=3 e simplificamos:
mathscrLf(t)=igl[-tfractse^-st-tfrac1s^2e^-str]1^3 =(tfrac1s+tfrac1s^2)e^-s-(tfrac3s+tfrac1s^2)e^-3s =(s+1)e^-s-(3s+1)e^-3ss^2 

Resposta

mathscrLf(t)=\frac{(s+1)e{-s}-(3s+1)e{-3s}}{s^{2}})

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