Sejam
conjuntos quaisquer e seja
o complementar do conjunto
. Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que ao tirar de A os elementos de B e depois intersectar com C dá o mesmo que intersectar A com C e só depois tirar os elementos que estão em B∩C. O conteúdo é teoria dos conjuntos (diferença, intersecção e complemento) e vamos precisar da definição de diferença de conjuntos, das Leis de De Morgan e das propriedades de associatividade, comutatividade e distributividade da intersecção.
Passo 2
A diferença de conjuntos é definida por
onde
é o complementar de
.
Passo 3
Vamos ao lado esquerdo:
Pela associatividade e comutatividade de
, isto vira
Ou seja,
Passo 4
Agora o lado direito:
Pelo Teorema de De Morgan,
. Então
Usando a distributividade de
sobre
:
Mas
, então o segundo termo some, restando
Passo 5
Como ambos os lados se reduzem a
, concluímos que