Sejam A, B, C subset Omega conjuntos quaisquer e seja COmega B o complementar do conjunto B. Mostre que:
(A-B) cap C=(A cap C)-(B cap C)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que ao tirar de A os elementos de B e depois intersectar com C dá o mesmo que intersectar A com C e só depois tirar os elementos que estão em B∩C. O conteúdo é teoria dos conjuntos (diferença, intersecção e complemento) e vamos precisar da definição de diferença de conjuntos, das Leis de De Morgan e das propriedades de associatividade, comutatividade e distributividade da intersecção.

Passo 2

A diferença de conjuntos é definida por
A - B = A cap B^c
onde B^c é o complementar de B.

Passo 3

Vamos ao lado esquerdo:
(A - B) cap C = (A cap B^c) cap C
Pela associatividade e comutatividade de cap, isto vira
A cap (B^c cap C) = A cap C cap B^c = (A cap C) cap B^c
Ou seja,
(A - B) cap C = (A cap C) cap B^c

Passo 4

Agora o lado direito:
(A cap C) - (B cap C) = (A cap C) cap (B cap C)^c
Pelo Teorema de De Morgan, (B cap C)^c = B^c cup C^c. Então
(A cap C) cap (B^c cup C^c)
Usando a distributividade de cap sobre cup:
(A cap C cap B^c) cup (A cap C cap C^c)
Mas C cap C^c = emptyset, então o segundo termo some, restando
A cap C cap B^c = (A cap C) cap B^c

Passo 5

Como ambos os lados se reduzem a (A cap C) cap B^c, concluímos que
(A - B) cap C = (A cap C) - (B cap C)

Resposta

(A-B) cap C = (A cap C)-(B cap C)

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