Nos seguintes problemas, use a transformada de Laplace para resolver o PVI dado
Passo 1
O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace o PVI
com
e
. O conteúdo é o uso das propriedades
e
e as transformadas de exponenciais.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados e usamos as condições iniciais:
então
$$s^2Y(s)-s\cdot1-(-1)-4\bigl(sY(s)-1\bigr)=\frac{6}{s-3}-\frac{1}{s+1}.
$$
Passo 3
Reorganizando os termos em
obtemos
$$Y(s),s(s-4)=\frac{6}{s-3}-\frac{1}{s+1}+s-5,
$$logo
$$Y(s)=\frac{s-5}{s(s-4)}+\frac{6}{s(s-4)(s-3)}-\frac{1}{s(s-4)(s+1)}.
$$
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais separando em três parcelas:
Passo 5
Somando as frações parciais, chega-se a
$$Y(s)=2\cdot\frac{1}{s}+\frac{6/5}{s-4}-2\cdot\frac{1}{s-3}-\frac{1/5}{s+1}.
$$
Passo 6
Por fim, invertendo a transformada de Laplace termo a termo:
$$y(t)=2+\frac{6}{5}e{4t}-2e{3t}-\frac{1}{5}e^{-t}.
$$