Nos seguintes problemas, use a transformada de Laplace para resolver o PVI dado
y^prime prime-4 y^prime=6 e^3 t-e^-t, y(0)=1, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace o PVI y''-4y'=6e^3t-e^-t, com y(0)=1 e y'(0)=-1. O conteúdo é o uso das propriedades Ly' e Ly'' e as transformadas de exponenciais.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados e usamos as condições iniciais:
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0),
então
$$s^2Y(s)-s\cdot1-(-1)-4\bigl(sY(s)-1\bigr)=\frac{6}{s-3}-\frac{1}{s+1}.
$$

Passo 3

Reorganizando os termos em Y(s) obtemos
$$Y(s),s(s-4)=\frac{6}{s-3}-\frac{1}{s+1}+s-5,
$$logo
$$Y(s)=\frac{s-5}{s(s-4)}+\frac{6}{s(s-4)(s-3)}-\frac{1}{s(s-4)(s+1)}.
$$

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais separando em três parcelas:
  1. s-5s(s-4)=5/4s-1/4s-4
  2. 6s(s-4)(s-3)=1/2s+3/2s-4-2s-3
  3. -1s(s-4)(s+1)=1/4s-1/20s-4-1/5s+1

Passo 5

Somando as frações parciais, chega-se a
$$Y(s)=2\cdot\frac{1}{s}+\frac{6/5}{s-4}-2\cdot\frac{1}{s-3}-\frac{1/5}{s+1}.
$$

Passo 6

Por fim, invertendo a transformada de Laplace termo a termo:
$$y(t)=2+\frac{6}{5}e{4t}-2e{3t}-\frac{1}{5}e^{-t}.
$$

Resposta

y(t)=2+65e^4t-2e^3t-15e^-t

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