Calcule as transformadas inversas:
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{\mathrm{~s}}{(\mathrm{~s}+1)^{2}}\right]

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de \displaystyle \frac{s}{(s+1)^{2}}.
O conteúdo aqui é transformada de Laplace e usaremos as propriedades de linearidade e deslocamento, assim como as fórmulas conhecidas:
\mathcal{L}\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a}, \quad \mathcal{L}\{t\,e^{-at}\}=\frac{1}{(s+a)^{2}}.

Passo 2

Para decompor \displaystyle \frac{s}{(s+1)^{2}}, note que s=(s+1)-1. Assim,
\frac{s}{(s+1)^{2}} =\frac{(s+1)-1}{(s+1)^{2}} =\frac{s+1}{(s+1)^{2}}-\frac{1}{(s+1)^{2}} =\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 3

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando linearidade:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl[\frac{1}{s+1}\Bigr]=e^{-t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl[\frac{1}{(s+1)^{2}}\Bigr]=t\,e^{-t}.

Passo 4

Combinando os resultados, obtemos
f(t) =\mathcal{L}^{-1}\Bigl[\frac{1}{s+1}\Bigr] -\mathcal{L}^{-1}\Bigl[\frac{1}{(s+1)^{2}}\Bigr] =e^{-t}-t\,e^{-t} =(1-t)e^{-t}.

Resposta

(1 - t)\,e^{-t}.

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