Calcule as transformadas de Laplace inversa das funções abaixo:
OBSERVAÇÃO: FAÇA UTILIZANDO O MÉTODO DE COMPLETAR QUADRADO PARA O DENOMINADOR
OBSERVAÇÃO: FAÇA UTILIZANDO O MÉTODO DE COMPLETAR QUADRADO PARA O DENOMINADOR
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace inversa juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa da função
usando o método de completar o quadrado no denominador. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração:
. Nosso objetivo é completar o quadrado para facilitar a transformação.
Para completar o quadrado, pegamos os coeficientes de
e ajustamos a expressão:
Então, o denominador fica:
Passo 3
Agora, substituímos o denominador original pela expressão que completamos:
Para facilitar a transformação inversa, vamos reescrever o numerador
de forma que possamos separar os termos:
Então, substituímos na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos identificar as partes que podemos transformar usando as tabelas de transformadas de Laplace inversa. Sabemos que:
No nosso caso, temos
e
, já que
.
Passo 5
Aplicando as fórmulas acima às duas partes de
:
- Para
:
- Para
:
Primeiro, observe que temos um fator 10 no numerador. Usando a segunda fórmula:
Passo 6
Juntando as duas transformadas inversas que encontramos:
Podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é: