Calcule as transformadas de Laplace inversa das funções abaixo:
F(s)=s-9s^2+2 s-8
OBSERVAÇÃO: FAÇA UTILIZANDO O MÉTODO DE COMPLETAR QUADRADO PARA O DENOMINADOR

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace inversa juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa da função F(s) = s-9s^2+2s-8 usando o método de completar o quadrado no denominador. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: s^2 + 2s - 8 . Nosso objetivo é completar o quadrado para facilitar a transformação.
Para completar o quadrado, pegamos os coeficientes de s e ajustamos a expressão:
s^2 + 2s - 8 = (s^2 + 2s + 1) - 1 - 8 = (s + 1)^2 - 9
Então, o denominador fica:
(s + 1)^2 - 9

Passo 3

Agora, substituímos o denominador original pela expressão que completamos:
F(s) = s - 9(s + 1)^2 - 9
Para facilitar a transformação inversa, vamos reescrever o numerador s - 9 de forma que possamos separar os termos:
s - 9 = (s + 1) - 10
Então, substituímos na expressão de F(s) :
F(s) = (s + 1) - 10(s + 1)^2 - 9 = s + 1(s + 1)^2 - 9 - 10(s + 1)^2 - 9

Passo 4

Agora, vamos identificar as partes que podemos transformar usando as tabelas de transformadas de Laplace inversa. Sabemos que:
L^-1s + a(s + a)^2 - b^2 = e^-a t cosh(bt)
L^-1b(s + a)^2 - b^2 = e^-a t sinh(bt)
No nosso caso, temos a = 1 e b = 3 , já que 9 = 3^2 .

Passo 5

Aplicando as fórmulas acima às duas partes de F(s) :
  1. Para s + 1(s + 1)^2 - 9 :
L^-1s + 1(s + 1)^2 - 9 = e^-t cosh(3t)
  1. Para 10(s + 1)^2 - 9 :
Primeiro, observe que temos um fator 10 no numerador. Usando a segunda fórmula:
L^-110(s + 1)^2 - 9 = 10 cdot 13 e^-t sinh(3t) = 103 e^-t sinh(3t)

Passo 6

Juntando as duas transformadas inversas que encontramos:
f(t) = e^-t cosh(3t) - 103 e^-t sinh(3t)
Podemos fatorar e^-t para simplificar:
f(t) = e^-t ( cosh(3t) - 103 sinh(3t) )

Resposta

A transformada de Laplace inversa de F(s) = s-9s^2+2s-8 é:
f(t) = e^-t ( cosh(3t) - 103 sinh(3t) )

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