Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas e uma condição inicial. O conteúdo aqui é de equações diferenciais, especificamente problemas de valor inicial. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar as expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
y' = 4x raizy - 1
E a condição inicial é que quando x = 0 , y = 2 .

Passo 3

O próximo passo é separar as variáveis y e x . Isso significa colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro. Vamos reescrever a equação:
dydx = 4x raizy - 1
Agora, vamos dividir ambos os lados por raizy - 1 e multiplicar por dx :
dyraizy - 1 = 4x , dx

Passo 4

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A gente tem:
integral dyraizy - 1 = integral 4x , dx
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Vamos começar com a integral do lado esquerdo:
integral dyraizy - 1
Fazendo uma substituição simples, seja u = y - 1 , então du = dy . A integral fica:
integral duraizu = 2raizu + C = 2raizy - 1 + C

Passo 6

Agora, vamos para a integral do lado direito:
integral 4x , dx
Isso é bem direto, usamos a regra da potência:
4 cdot x^22 + C = 2x^2 + C

Passo 7

Agora, igualamos as duas integrais (ignorando as constantes de integração por enquanto):
2raizy - 1 = 2x^2 + C
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
raizy - 1 = x^2 + C2

Passo 8

Vamos resolver para y . Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado:
y - 1 = (x^2 + C2)^2
Então, isolamos y :
y = (x^2 + C2)^2 + 1

Passo 9

Agora, vamos usar a condição inicial y(0) = 2 para encontrar a constante C . Substituindo x = 0 e y = 2 :
2 = (0 + C2)^2 + 1
Simplificando:
2 - 1 = (C2)^2 1 = C^24 C^2 = 4 C = pm 2
Vamos escolher C = 2 (pode ser -2 , mas vamos ficar com positivo para simplificar).

Passo 10

Substituindo C = 2 na expressão de y :
y = (x^2 + 22)^2 + 1 y = (x^2 + 1)^2 + 1

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y = (x^2 + 1)^2 + 1

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