Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas e uma condição inicial. O conteúdo aqui é de equações diferenciais, especificamente problemas de valor inicial. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar as expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
E a condição inicial é que quando
,
.
Passo 3
O próximo passo é separar as variáveis
e
. Isso significa colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Vamos reescrever a equação:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
:
Passo 4
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A gente tem:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 5
Vamos começar com a integral do lado esquerdo:
Fazendo uma substituição simples, seja
, então
. A integral fica:
Passo 6
Agora, vamos para a integral do lado direito:
Isso é bem direto, usamos a regra da potência:
Passo 7
Agora, igualamos as duas integrais (ignorando as constantes de integração por enquanto):
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 8
Vamos resolver para
. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Então, isolamos
:
Passo 9
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Simplificando:
Vamos escolher
(pode ser
, mas vamos ficar com positivo para simplificar).
Passo 10
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: