Calcule as transformadas de Laplace inversa das funções abaixo:
F(s)=(9+2) ss^2+2 s+5
OBSERVAÇÃO: FAÇA UTILIZANDO O MÉTODO DE COMPLETAR QUADRADO PARA O DENOMINADOR

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=(9+2),ss^2+2s+5
Ou seja, primeiro a gente vê que o numerador é (9+2)s=11s e o denominador é um polinômio do 2º grau. Vamos usar o método de completar o quadrado no denominador e depois decompor em termos cujas inversas a gente já conhece (funções do tipo e^-atcos(bt) e e^-atsin(bt)).

Passo 2

Completar o quadrado em s^2+2s+5:
s^2+2s+5 = (s^2+2s+1)+4 = (s+1)^2+4
Assim podemos reescrever
F(s)=11s(s+1)^2+4,

Passo 3

Expressar 11s em função de (s+1):
11s = 11l((s+1)-1r) = 11(s+1) - 11
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F(s)=11(s+1)-11(s+1)^2+4 =11(s+1)(s+1)^2+4 ;-;11(s+1)^2+4,

Passo 4

Reconhecer as transformadas-padrão:
1. L^-1!ls+1(s+1)^2+2^2r = e^-tcos(2t) 2. L^-1!l2(s+1)^2+2^2r = e^-tsin(2t)
No segundo termo temos 11(s+1)^2+4 = 112;2(s+1)^2+2^2.

Passo 5

Aplicar a linearidade e as inversas conhecidas:
  • Para 11(s+1)(s+1)^2+4 11,e^-tcos(2t).
  • Para 11(s+1)^2+4 112,e^-tsin(2t).
Somando e respeitando o sinal negativo do segundo termo, obtemos a função no tempo:

Resposta

f(t)=11,e^-tcos(2t);-;112,e^-tsin(2t)

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