A função densidade de probabilidade f de uma variável aleatória contínua X satisfaz f(x) >= 0 e integral-infty^infty f(x) d x=1. A probabilidade de que X esteja entre a e b é
P(a <= X <= b)=integrala^b f(x) d x
Considere agora um par de variáveis aleatórias X e Y, tais como o tempo de vida de dois componentes de uma máquina ou a altura e o peso de uma mulher adulta escolhida ao acaso. A função conjunta de X e Y é uma função de duas variáveis tais que a probabilidade de que (X, Y) esteja numa região B é
l P((X, Y) in B)=integral duplaB f(x, y) d x d y
onde f(x, y) >= 0 e integral duplaR^2 f(x, y) d x d y=integral-infty^infty integral-infty^infty f(x, y) d x d y=1, onde esta é uma integral imprópria definida como limite da integral dupla sobre o círculo ou retângulo expandido.
Se a função densidade conjunta de X e Y é
f(x, y)=ll k(x+2 y), & 0 <= x <= 10,0 <= y <= 10 0, & caso contrário á
determine a constante k. Substituindo a constante k encontrada na f, calcule P(X <= 7, Y >= 2). Se X é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f1(x) e Y é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f2(y), então X e Y são ditas variáveis aleatórias independentes se a função densidade conjunta for o produto destas funções: f(x, y)=f1(x) f2(y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre funções densidade de probabilidade conjuntas de duas variáveis aleatórias X e Y . A gente precisa encontrar a constante k que faz essa função ser uma densidade válida e depois usar esse k para calcular a probabilidade P(X <= 7, Y >= 2) . Para resolver isso, vamos usar integrais duplas e entender como normalizar a função densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função f(x, y) é realmente uma função densidade. Isso significa que a integral dupla de f(x, y) sobre todo o espaço deve ser igual a 1. A função dada é:
f(x, y) = k(x + 2y), & 0 <= x <= 10, 0 <= y <= 10 0, & caso contrário á
Então, precisamos calcular:
integral duplaR^2 f(x, y) , dx , dy = 1

Passo 3

Vamos calcular essa integral dentro dos limites onde f(x, y) é diferente de zero, ou seja, 0 <= x <= 10 e 0 <= y <= 10 :
integral0^10 integral0^10 k(x + 2y) , dx , dy = 1
Primeiro, integremos com respeito a x :
integral0^10 (x + 2y) , dx = [ 12x^2 + 2y x ]0^10 = 12(100) + 2y(10) = 50 + 20y
Agora, integramos com respeito a y :
integral0^10 (50 + 20y) , dy = 50(10) + 20( 12y^2 )0^10 = 500 + 20 times 50 = 500 + 1000 = 1500
Então, temos:
k times 1500 = 1 implies k = 11500

Passo 4

Agora que encontramos k = 11500 , vamos calcular a probabilidade P(X <= 7, Y >= 2) . Isso significa que queremos a integral dupla de f(x, y) onde x varia de 0 a 7 e y varia de 2 a 10:
P(X <= 7, Y >= 2) = integral0^7 integral2^10 11500(x + 2y) , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integremos com respeito a y :
integral2^10 (x + 2y) , dy = [ x y + y^2 ]2^10 = x(10 - 2) + (100 - 4) = 8x + 96
Então, a expressão fica:
11500 integral0^7 (8x + 96) , dx
Agora, integramos com respeito a x :
integral0^7 (8x + 96) , dx = [ 4x^2 + 96x ]0^7 = 4(49) + 96(7) = 196 + 672 = 868
Multiplicando pelo 11500 :
8681500 approx 0,5787

Resposta

A constante k é 11500 e a probabilidade P(X <= 7, Y >= 2) é aproximadamente 0,579.

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