A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua satisfaz e . A probabilidade de que esteja entre e é
Considere agora um par de variáveis aleatórias e , tais como o tempo de vida de dois componentes de uma máquina ou a altura e o peso de uma mulher adulta escolhida ao acaso. A função conjunta de e é uma função de duas variáveis tais que a probabilidade de que esteja numa região é
onde e , onde esta é uma integral imprópria definida como limite da integral dupla sobre o círculo ou retângulo expandido.
Se a função densidade conjunta de e é
determine a constante k. Substituindo a constante k encontrada na f, calcule P(X <= 7, Y >= 2). Se X é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f1(x) e Y é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f2(y), então X e Y são ditas variáveis aleatórias independentes se a função densidade conjunta for o produto destas funções: f(x, y)=f1(x) f2(y).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre funções densidade de probabilidade conjuntas de duas variáveis aleatórias X e Y . A gente precisa encontrar a constante k que faz essa função ser uma densidade válida e depois usar esse k para calcular a probabilidade P(X <= 7, Y >= 2) . Para resolver isso, vamos usar integrais duplas e entender como normalizar a função densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função f(x, y) é realmente uma função densidade. Isso significa que a integral dupla de f(x, y) sobre todo o espaço deve ser igual a 1. A função dada é:
f(x, y) = k(x + 2y), & 0 <= x <= 10, 0 <= y <= 10 0, & caso contrário á
Então, precisamos calcular:
integral duplaR^2 f(x, y) , dx , dy = 1
Passo 3
Vamos calcular essa integral dentro dos limites onde f(x, y) é diferente de zero, ou seja, 0 <= x <= 10 e 0 <= y <= 10 :
Agora que encontramos k = 11500 , vamos calcular a probabilidade P(X <= 7, Y >= 2) . Isso significa que queremos a integral dupla de f(x, y) onde x varia de 0 a 7 e y varia de 2 a 10:
P(X <= 7, Y >= 2) = integral0^7 integral2^10 11500(x + 2y) , dy , dx
Passo 5
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integremos com respeito a y :
integral2^10 (x + 2y) , dy = [ x y + y^2 ]2^10 = x(10 - 2) + (100 - 4) = 8x + 96