Calcular as transformadas inversas de Laplace
L^{-1}\left(\frac{s}{s^{2}+3}+\frac{1}{s^{2}+16}\right)=

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da soma
F(s)=\frac{s}{s^{2}+3}+\frac{1}{s^{2}+16}.
O conteúdo envolve a linearidade da transformada e as fórmulas básicas
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}} \quad\text{e}\quad \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 2

Para a primeira parcela \dfrac{s}{s^{2}+3} reconhecemos a^{2}=3, logo a=\sqrt{3}, e
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s}{s^{2}+3}\Bigr\}=\cos\bigl(\sqrt{3}\,t\bigr).

Passo 3

Para a segunda parcela \dfrac{1}{s^{2}+16} escrevemos
\frac{1}{s^{2}+16} =\frac{1}{4}\,\frac{4}{s^{2}+4^{2}}
e usamos \mathcal{L}\{\sin(4t)\}=4/(s^{2}+16). Assim,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}+16}\Bigr\} =\frac{1}{4}\,\sin(4t).

Resposta

L^{-1}\!\Bigl(\tfrac{s}{s^{2}+3}+\tfrac{1}{s^{2}+16}\Bigr) =\cos\bigl(\sqrt{3}\,t\bigr) +\tfrac{1}{4}\,\sin(4t).

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