Não há outras condições explícitas; vamos trabalhar com as propriedades usuais da transformada de Laplace e com as derivadas iniciais da função interna.
Passo 2
Defino uma função auxiliar para organizar as ideias:
y(t)=e^{-2t}t^{5}.
Então a função cuja transformada queremos é e^{t}y^{(5)}(t). Vou primeiro achar \mathcal{L}\{y(t)\}, depois \mathcal{L}\{y^{(5)}(t)\} usando a fórmula para derivadas, e por fim aplicar o efeito de multiplicar por e^{t} (que é uma mudança de variável em s). Vou explicando cada propriedade enquanto a uso.
Checagem das condições iniciais de y(t)=e^{-2t}t^{5} em t=0.
Observação: e^{-2t} é analítica e tem expansão em série \,e^{-2t}=1-2t+\frac{( -2t)^{2}}{2!}+\cdots. Multiplicando por t^{5} obtemos uma série que começa em t^{5}:
y(t)=t^{5}\bigl(1-2t+\cdots\bigr)=t^{5}+\text{termos de ordem }t^{6},t^{7},\dots
Logo as derivadas de ordem k=0,1,2,3,4 avaliadas em 0 são todas zero:
y(0)=y'(0)=y''(0)=y^{(3)}(0)=y^{(4)}(0)=0.
(Isto é intuitivo: qualquer função que comece como t^{5} tem as primeiras quatro derivadas em zero.)
Passo 5
Usando a propriedade da transformada para derivadas: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e y tem derivadas iniciais apropriadas, então