Calcule as transformadas de Laplace.
\(\mathcal{L}\left\{e^{t} \frac{d^{5}}{d t^{5}}\left(e^{-2 t} t^{5}\right)\right\})

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
e^{t}\,\frac{d^{5}}{dt^{5}}\bigl(e^{-2t}t^{5}\bigr).
Informações dadas e o que precisamos calcular:
\text{Calcular }\mathcal{L}\Big\{e^{t}\,\frac{d^{5}}{dt^{5}}\big(e^{-2t}t^{5}\big)\Big\}.
Não há outras condições explícitas; vamos trabalhar com as propriedades usuais da transformada de Laplace e com as derivadas iniciais da função interna.

Passo 2

Defino uma função auxiliar para organizar as ideias:
y(t)=e^{-2t}t^{5}.
Então a função cuja transformada queremos é e^{t}y^{(5)}(t). Vou primeiro achar \mathcal{L}\{y(t)\}, depois \mathcal{L}\{y^{(5)}(t)\} usando a fórmula para derivadas, e por fim aplicar o efeito de multiplicar por e^{t} (que é uma mudança de variável em s). Vou explicando cada propriedade enquanto a uso.

Passo 3

Calculando \mathcal{L}\{y(t)\}=\mathcal{L}\{e^{-2t}t^{5}\}.
Propriedade usada: para qualquer função f(t) com transformada F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, vale
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}=F(s-a).
Explicação rápida: isso vem direto da definição integral,
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}f(t)\,dt=F(s-a).
Aplicando com a=-2 e f(t)=t^{5}: conhecemos a transformada de potência:
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}}\quad\text{(para \(n\) natural e \(\Re(s)>0\))}.
Aqui n=5, então
\mathcal{L}\{t^{5}\}=\frac{5!}{s^{6}}=\frac{120}{s^{6}}.
Pelo deslocamento, substituímos s por s+2:
\mathcal{L}\{e^{-2t}t^{5}\}=\frac{120}{(s+2)^{6}}.

Passo 4

Checagem das condições iniciais de y(t)=e^{-2t}t^{5} em t=0.
Observação: e^{-2t} é analítica e tem expansão em série \,e^{-2t}=1-2t+\frac{( -2t)^{2}}{2!}+\cdots. Multiplicando por t^{5} obtemos uma série que começa em t^{5}:
y(t)=t^{5}\bigl(1-2t+\cdots\bigr)=t^{5}+\text{termos de ordem }t^{6},t^{7},\dots
Logo as derivadas de ordem k=0,1,2,3,4 avaliadas em 0 são todas zero:
y(0)=y'(0)=y''(0)=y^{(3)}(0)=y^{(4)}(0)=0.
(Isto é intuitivo: qualquer função que comece como t^{5} tem as primeiras quatro derivadas em zero.)

Passo 5

Usando a propriedade da transformada para derivadas: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e y tem derivadas iniciais apropriadas, então
\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s)-s^{n-1}y(0)-s^{n-2}y'(0)-\cdots-y^{(n-1)}(0).
Aqui n=5. Como vimos no Passo 4 todos os termos iniciais y^{(k)}(0) para k=0,\dots,4 são zero, a expressão simplifica muito:
\mathcal{L}\{y^{(5)}(t)\}=s^{5}Y(s).
Substituindo Y(s)=\dfrac{120}{(s+2)^{6}} do Passo 3:
\mathcal{L}\{y^{(5)}(t)\}=s^{5}\cdot\frac{120}{(s+2)^{6}}=\frac{120\,s^{5}}{(s+2)^{6}}.

Passo 6

Agora aplico o efeito de multiplicar por e^{t}. Propriedade de deslocamento no domínio s:
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}=F(s-a).
Tomando a=1 e f(t)=y^{(5)}(t) com transformada \dfrac{120\,s^{5}}{(s+2)^{6}}, basta substituir s por s-1 na expressão encontrada:
\mathcal{L}\Big\{e^{t}y^{(5)}(t)\Big\}=\left.\frac{120\,s^{5}}{(s+2)^{6}}\right|_{s\mapsto s-1} =\frac{120\,(s-1)^{5}}{(s-1+2)^{6}}.
Simplificando o denominador s-1+2=s+1, obtemos
\mathcal{L}\Big\{e^{t}\,\frac{d^{5}}{dt^{5}}\big(e^{-2t}t^{5}\big)\Big\}=\frac{120\,(s-1)^{5}}{(s+1)^{6}}.

Resposta

\frac{120\,(s-1)^{5}}{(s+1)^{6}}

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