Extra: ( +1,0 ptos) Determine a soma parcial ( S_{n} ) e verifique a convergência (utilizando a soma parcial) da série abaixo.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a soma parcial S_{n} da série e (2) verificar a convergência da série usando essa soma parcial. As informações dadas são:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}
ou seja, o termo geral é \dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)} com n variando de 1 até \infty. Não há outras condições ocultas — só precisamos encontrar S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} e então analisar \lim_{n\to\infty}S_{n}.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral em frações parciais (isso facilita ver cancelamentos). Procuramos constantes A e B tais que, para todo k,
\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{A}{2k-1}+\frac{B}{2k+1}.
Multiplicando ambos os lados por (2k-1)(2k+1) obtemos
1 = A(2k+1)+B(2k-1).
Agora interpretamos isso como identidade em k: os coeficientes de k e os termos constantes devem coincidir.

Passo 3

Comparando coeficientes em k e termo constante na identidade
1 = (2A+2B)k + (A-B),
temos o sistema
2A+2B=0,\qquad A-B=1.
Da primeira equação segue A=-B. Substituindo na segunda: A-(-A)=1 implica 2A=1, logo A=\tfrac{1}{2} e B=-\tfrac{1}{2}. Portanto
\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right).

Passo 4

Agora escrevemos a soma parcial S_{n} usando essa decomposição:
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right).
Expandindo os primeiros termos para ver o padrão:
\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right) &=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right). \end{aligned}
Observe que quase todos os termos intermediários cancelam (telescopagem): -\frac{1}{3} cancela com +\frac{1}{3}, -\frac{1}{5} com +\frac{1}{5}, etc. O que sobra é o primeiro termo positivo e o último termo negativo:
\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)=1-\frac{1}{2n+1}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos
S_{n}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right).

Passo 5

Simplificamos S_{n}:
S_{n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2n}{2n+1}=\frac{n}{2n+1}.
Agora analisamos a convergência: calculamos o limite quando n\to\infty. Dividindo numerador e denominador por n,
\lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2+\tfrac{1}{n}}=\frac{1}{2}.
Portanto a sequência de somas parciais converge e a série converge para \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Resumo didático rápido (para prova): quando vir termos do tipo \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} reconheça que é natural tentar frações parciais e que costuma telescopar. Procure escrever
\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\Big)
e então somar term a term para ver o cancelamento; sobra sempre o primeiro termo da série e o último negativo, permitindo encontrar S_{n} facilmente e o limite.

Resposta

S_{n}=\dfrac{n}{2n+1}\nA série converge e \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\tfrac{1}{2}

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