Extra: (
ptos) Determine a soma parcial (
) e verifique a convergência (utilizando a soma parcial) da série abaixo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a soma parcial
da série e (2) verificar a convergência da série usando essa soma parcial. As informações dadas são:
ou seja, o termo geral é
com
variando de
até
. Não há outras condições ocultas — só precisamos encontrar
e então analisar
.
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em frações parciais (isso facilita ver cancelamentos). Procuramos constantes
e
tais que, para todo
,
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora interpretamos isso como identidade em
: os coeficientes de
e os termos constantes devem coincidir.
Passo 3
Comparando coeficientes em
e termo constante na identidade
temos o sistema
Da primeira equação segue
. Substituindo na segunda:
implica
, logo
e
. Portanto
Passo 4
Agora escrevemos a soma parcial
usando essa decomposição:
Expandindo os primeiros termos para ver o padrão:
Observe que quase todos os termos intermediários cancelam (telescopagem):
cancela com
,
com
, etc. O que sobra é o primeiro termo positivo e o último termo negativo:
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Simplificamos
:
Agora analisamos a convergência: calculamos o limite quando
. Dividindo numerador e denominador por
,
Portanto a sequência de somas parciais converge e a série converge para
.
Passo 6
Resumo didático rápido (para prova): quando vir termos do tipo
reconheça que é natural tentar frações parciais e que costuma telescopar. Procure escrever
e então somar term a term para ver o cancelamento; sobra sempre o primeiro termo da série e o último negativo, permitindo encontrar
facilmente e o limite.