\text{(a) Encontrar os autovalores e autovetores de }A.
\text{(b) Encontrar a solução geral do sistema }X' = A X.çã
Informações relevantes dadas: a matriz A está explícita (elementos 1,-2,0,2). Não há outras condições iniciais; portanto a solução geral deve conter constantes arbitrárias.]
Passo 2
O que é preciso fazer para (a). Definição e método:
\text{Autovalor } \lambda \text{ é número tal que } \det(A-\lambda I)=0.éú
\text{Autovetor }v\neq0 \text{ associado a }\lambda \text{ satisfaz }(A-\lambda I)v=0.
Vou primeiro calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I) e achar os \lambda. Depois, para cada \lambda, resolverei o sistema linear homogêneo (A-\lambda I)v=0 para obter um vetor não nulo v.
(Obs.: para matrizes triangulares os autovalores aparecem nas entradas diagonais — aqui 1 e 2.)]
Passo 4
Encontrar o autovetor correspondente a \lambda=1\). Escrevo
\[A-1\!I=\begin{pmatrix}1-1 & -2 \\[4pt] 0 & 2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Se v=\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} então (A-1I)v=0 dá o sistema
\begin{cases} 0\cdot x -2y = 0,\\[4pt] 0\cdot x +1\cdot y =0. \end{cases}
A segunda equação dá y=0\]. A primeira é a mesma e é satisfeita. Logo \(y=0 e x é livre (qualquer valor). Escolhemos o autovetor simples com x=1:
v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt] 0\end{pmatrix}
associado a \lambda_1=1.]
Passo 5
Encontrar o autovetor correspondente a \lambda=2\). Escrevo
\[A-2\!I=\begin{pmatrix}1-2 & -2 \\[4pt] 0 & 2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Para v=\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} temos
\begin{cases} -1\cdot x -2y = 0,\\[4pt] 0\cdot x +0\cdot y =0. \end{cases}
A primeira equação dá -x-2y=0\Rightarrow x=-2y\]. Tomando \(y=1 (escolha conveniente), obtemos o autovetor
v_2=\begin{pmatrix}-2\\[2pt] 1\end{pmatrix}
associado a \lambda_2=2.]
Passo 6
Interpretação e uso dos autovalores/autovetores para resolver o sistema. Teorema usado (explicado de forma simples):
Se Av=\lambda v então a função X(t)=e^{\lambda t}v é solução de X'=AX, pois
Portanto, para cada autovalor \lambda com autovetor v temos uma solução exponencial e^{\lambda t}v. Se os autovetores formam uma base (matriz diagonalizável), a combinação linear dessas soluções gera a solução geral.
Passo 7
Construir a solução geral usando os dois autovetores que são linearmente independentes (eles não são múltiplos um do outro). Assim a solução geral é
onde C_1,C_2 são constantes reais arbitrárias. Substituindo \lambda_1=1,\;v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} e \lambda_2=2,\;v_2=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\end{pmatrix}, obtemos
Verificação rápida (opcional, útil na prova): resolver pela via das equações escalares. Do sistema X'=(x',y')^T = A(x,y)^T\) temos
\[\begin{cases} x' = x -2y,\\[4pt] y' = 2y. \end{cases}
A segunda equação é y' = 2y\Rightarrow y(t)=C_2 e^{2t}\]. Substituindo em \(x' - x = -2y = -2C_2 e^{2t} e resolvendo por fator integrante e^{-t} obtém-se
x(t)=C_1 e^{t} -2C_2 e^{2t},
que coincide com a solução obtida via autovetores — bom sinal!]
Resposta
(a) \lambda_1=1 com autovetor v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix};\quad \lambda_2=2 com autovetor v_2=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\end{pmatrix}.\n