( 1,0 ptos) Verifique, por substituição direta, se a série abaixo é solução da equação diferencial y^{\prime}-y=0.
y=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos, por substituição direta, se a série
y=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}
é solução da equação diferencial
y'-y=0.
Informações dadas:
y=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}
e devemos checar se, ao calcular y' e substituir em y'-y, obtemos 0.

Passo 2

Vamos poder diferenciar a série termo a termo? Antes de diferenciar, preciso justificar que isso é válido. Há um teorema simples: uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo dentro do seu raio de convergência, e a série resultante tem o mesmo raio de convergência. Então vou calcular o raio de convergência da série dada para garantir que posso diferenciar termo a termo para todos os x que interessam.

Passo 3

Calcular o raio de convergência usando o teste da razão. Para os coeficientes a_n=\frac{1}{n!} temos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0.
Como esse limite é 0, o raio de convergência R é infinito ( R=\infty). Isso significa que a série converge para todo x\in\mathbb{R} e que é permitido diferenciá-la termo a termo para qualquer x.

Passo 4

Agora diferenciamos termo a termo. A derivada do termo geral \frac{x^{n}}{n!} (para n\ge1) é
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n}}{n!}\right)=\frac{n x^{n-1}}{n!}.
Observe que \frac{n}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}. Para n=0 o termo é constante e sua derivada é 0. Portanto
y'=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n x^{n-1}}{n!} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}.

Passo 5

Reindexando a soma para compará-la com y: faça k=n-1. Quando n vai de 1 até \infty, k vai de 0 até \infty. Assim
y'=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}.
Mas a soma do lado direito é exatamente a série original y. Logo
y'=y.

Passo 6

Substituindo na equação diferencial pedida:
y'-y= y - y = 0.
Portanto a série dada satisfaz a equação diferencial em todo \mathbb{R}.

Resposta

Sim. \;y' - y = 0.

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