( 1,0 ptos) Verifique, por substituição direta, se a série abaixo é solução da equação diferencial y^{\prime}-y=0. y=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos, por substituição direta, se a série
y=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}
é solução da equação diferencial
y'-y=0.
Informações dadas:
y=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}
e devemos checar se, ao calcular y' e substituir em y'-y, obtemos 0.
Passo 2
Vamos poder diferenciar a série termo a termo? Antes de diferenciar, preciso justificar que isso é válido. Há um teorema simples: uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo dentro do seu raio de convergência, e a série resultante tem o mesmo raio de convergência. Então vou calcular o raio de convergência da série dada para garantir que posso diferenciar termo a termo para todos os x que interessam.
Passo 3
Calcular o raio de convergência usando o teste da razão. Para os coeficientes a_n=\frac{1}{n!} temos
Como esse limite é 0, o raio de convergência R é infinito (R=\infty). Isso significa que a série converge para todo x\in\mathbb{R} e que é permitido diferenciá-la termo a termo para qualquer x.
Passo 4
Agora diferenciamos termo a termo. A derivada do termo geral \frac{x^{n}}{n!} (para n\ge1) é