Calcule as transformadas de Laplace.
\mathcal{L}\left\{t^{2} \operatorname{sen} 2 t\right\}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a transformada de Laplace da função \;t^{2}\,\operatorname{sen}2t\;.\n
Informações dadas:\n
\;t^{2}\,\operatorname{sen}2t é a função tempo que devemos transformar.\n
O pedido explícito é: calcular \;\mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{sen}2t\}.

Passo 2

Apresento uma propriedade muito útil para transformar produtos por potências de t:\n
Seja F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}. Então, para inteiro não negativo n vale\n \mathcal{L}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s).\n
Explicando: \mathcal{L} é a transformada de Laplace, s é a variável complexa da transformada, f(t) é a função original em t e \frac{d^{n}}{ds^{n}} significa a n-ésima derivada de F(s) em relação a s. Essa fórmula vem da definição da transformada e da troca entre multiplicação por t e diferenciação em s. Aqui temos n=2, então usaremos\n \mathcal{L}\{t^{2}f(t)\}= \frac{d^{2}}{ds^{2}}F(s),\nporque (-1)^{2}=1.

Passo 3

Identificamos f(t)=\operatorname{sen}2t. Primeiro calculamos a transformada básica\n F(s)=\mathcal{L}\{\operatorname{sen}2t\}.\n
Recordando a transformada padrão da função seno: para constante \omega>0 vale\n \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.\n
Aplicando com \omega=\;2 obtemos\n F(s)=\frac{2}{s^{2}+4}.

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade para n=2:\n
\mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{sen}2t\}=\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left(\frac{2}{s^{2}+4}\right).\n
É mais simples tratar \displaystyle \frac{2}{s^{2}+4} como 2(s^{2}+4)^{-1} e derivar usando regra da cadeia e regra do produto quando necessário.

Passo 5

Calculamos a primeira derivada. Seja G(s)=2(s^{2}+4)^{-1}. Então\n G'(s)=2\cdot\left(-1\right)(s^{2}+4)^{-2}\cdot\frac{d}{ds}(s^{2}+4).\n
Aqui \frac{d}{ds}(s^{2}+4)=2s. Substituindo,\n G'(s)=2\cdot(-1)\cdot (s^{2}+4)^{-2}\cdot 2s = -4s\,(s^{2}+4)^{-2}.

Passo 6

Calculamos a segunda derivada usando a regra do produto em G'(s)=-4s\,(s^{2}+4)^{-2}.\n
Seja u(s)=-4s e v(s)=(s^{2}+4)^{-2}. Então\n G''(s)=u'(s)v(s)+u(s)v'(s).\n
Calculamos u'(s)=-4. Para v'(s) usamos regra da cadeia:\n v'(s)=-2(s^{2}+4)^{-3}\cdot\frac{d}{ds}(s^{2}+4)=-2(s^{2}+4)^{-3}\cdot 2s = -4s\,(s^{2}+4)^{-3}.\n
Substituindo em G''(s):\n G''(s)=(-4)\,(s^{2}+4)^{-2} + (-4s)\cdot\big(-4s\,(s^{2}+4)^{-3}\big).\n
Simplificando o segundo termo:\n (-4s)\cdot\big(-4s\,(s^{2}+4)^{-3}\big) = 16s^{2}\,(s^{2}+4)^{-3}.\n
Portanto\n G''(s) = -4\,(s^{2}+4)^{-2} + 16s^{2}\,(s^{2}+4)^{-3}.

Passo 7

Colocamos os termos sobre um denominador comum (s^{2}+4)^{3} para simplificar:\n
O primeiro termo multiplicado por (s^{2}+4) no numerador fica\n -4(s^{2}+4)(s^{2}+4)^{-3} = \frac{-4(s^{2}+4)}{(s^{2}+4)^{3}}.\n
O segundo termo já é \displaystyle \frac{16s^{2}}{(s^{2}+4)^{3}}. Somando os numeradores:\n G''(s)=\frac{-4(s^{2}+4)+16s^{2}}{(s^{2}+4)^{3}}.\n
Expandindo o numerador:\n -4(s^{2}+4)+16s^{2} = -4s^{2}-16+16s^{2} = 12s^{2}-16.\n
Logo\n G''(s)=\frac{12s^{2}-16}{(s^{2}+4)^{3}}.

Passo 8

Podemos fatorar 4 no numerador para uma forma mais compacta:\n
G''(s)=\frac{4(3s^{2}-4)}{(s^{2}+4)^{3}}.\n
Recordando que G''(s)=\mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{sen}2t\}, essa é a transformada procurada. O domínio de convergência (abscissa de Laplace) é \operatorname{Re}(s)>0, o mesmo da transformada de \sin 2t.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{sen}2t\}=\frac{12s^{2}-16}{(s^{2}+4)^{3}} = \frac{4(3s^{2}-4)}{(s^{2}+4)^{3}},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.

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