Calcule as transformadas de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a transformada de Laplace da função
.\n
Informações dadas:\n
é a função tempo que devemos transformar.\n
O pedido explícito é: calcular .
Informações dadas:\n
O pedido explícito é: calcular
Passo 2
Apresento uma propriedade muito útil para transformar produtos por potências de
:\n
Seja
. Então, para inteiro não negativo
vale\n
\n
Explicando:
é a transformada de Laplace,
é a variável complexa da transformada,
é a função original em
e
significa a
-ésima derivada de
em relação a
. Essa fórmula vem da definição da transformada e da troca entre multiplicação por
e diferenciação em
. Aqui temos
, então usaremos\n
\nporque
.
Passo 3
Identificamos
. Primeiro calculamos a transformada básica\n
\n
Recordando a transformada padrão da função seno: para constante
vale\n
\n
Aplicando com
obtemos\n
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade para
:\n
É mais simples tratar
como
e derivar usando regra da cadeia e regra do produto quando necessário.
Passo 5
Calculamos a primeira derivada. Seja
. Então\n
\n
Aqui
. Substituindo,\n
Passo 6
Calculamos a segunda derivada usando a regra do produto em
.\n
Seja
e
. Então\n
\n
Calculamos
. Para
usamos regra da cadeia:\n
\n
Substituindo em
:\n
\n
Simplificando o segundo termo:\n
\n
Portanto\n
Passo 7
Colocamos os termos sobre um denominador comum
para simplificar:\n
O primeiro termo multiplicado por
no numerador fica\n
\n
O segundo termo já é
. Somando os numeradores:\n
\n
Expandindo o numerador:\n
\n
Logo\n
Passo 8
Podemos fatorar
no numerador para uma forma mais compacta:\n
Recordando que
, essa é a transformada procurada. O domínio de convergência (abscissa de Laplace) é
, o mesmo da transformada de
.