Encontre uma função
que satisfaz a equação
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma função
que satisfaz a equação integral
Informações dadas:
O objetivo é determinar explicitamente
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): quando vemos uma integral do tipo
estamos diante de um núcleo dependente de
e
. Uma técnica clássica é diferenciar a equação em relação a
para transformar a equação integral numa equação diferencial, que costumamos saber resolver. Para justificar a diferenciação usamos a regra de Leibniz para derivar integrais com limite superior dependente de
:
Aqui escolhemos
. Então
e
.
Passo 3
Aplicando a diferenciação à equação original: derivando membro a membro,
Usando a regra do passo anterior:
ou seja
Passo 4
Agora diferenciamos novamente para eliminar a integral
. Derivando a equação do passo anterior:
Pelo teorema fundamental do cálculo
. Logo obtemos a equação diferencial ordinária:
Passo 5
Precisamos de condições iniciais para resolver a EDO de segunda ordem. Pegamos
na equação original:
o que dá
Agora pegamos
na equação do passo 3:
logo
Portanto temos a EDO
com condições iniciais
Passo 6
Resolvendo a EDO: equação homogênea associada
tem solução geral
onde
e
são constantes. Procuramos uma solução particular para o termo
. Testamos a forma
. Substituindo em
obtemos
logo
e
. Assim
A solução geral da EDO é
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para determinar
e
. Em
:
portanto
.
Derivando :
Derivando
Em
:
portanto
.
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, obtemos
Fazendo uma checagem rápida na EDO: calculamos
e então
confirmando que a solução satisfaz a EDO (portanto, pela construção, satisfaz a equação integral original).