Encontre uma função f que satisfaz a equação
f(t)+\int_{0}^{t}(t-\tau) f(\tau) d \tau=e^{t}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma função f que satisfaz a equação integral
f(t)+\int_{0}^{t}(t-\tau)\,f(\tau)\,d\tau = e^{t}.
Informações dadas:
\text{para todo }t\text{ (assumimos \(f\) contínua/derivável suficiente para manipular integrais e derivadas).}íá
O objetivo é determinar explicitamente f(t).

Passo 2

Estratégia (explicação didática): quando vemos uma integral do tipo \int_0^t (t-\tau)f(\tau)d\tau estamos diante de um núcleo dependente de t e \tau. Uma técnica clássica é diferenciar a equação em relação a t para transformar a equação integral numa equação diferencial, que costumamos saber resolver. Para justificar a diferenciação usamos a regra de Leibniz para derivar integrais com limite superior dependente de t:
\frac{d}{dt}\int_{0}^{t}K(t,\tau)\,f(\tau)\,d\tau = \int_{0}^{t}\frac{\partial K}{\partial t}(t,\tau)\,f(\tau)\,d\tau + K(t,t)\,f(t).
Aqui escolhemos K(t,\tau)=t-\tau. Então \frac{\partial K}{\partial t}=1 e K(t,t)=0.

Passo 3

Aplicando a diferenciação à equação original: derivando membro a membro,
\frac{d}{dt}\bigg(f(t)\bigg) + \frac{d}{dt}\bigg(\int_{0}^{t}(t-\tau)f(\tau)\,d\tau\bigg) = \frac{d}{dt}\bigg(e^{t}\bigg).
Usando a regra do passo anterior:
f'(t) + \int_{0}^{t}1\cdot f(\tau)\,d\tau + 0\cdot f(t) = e^{t},
ou seja
f'(t)+\int_{0}^{t}f(\tau)\,d\tau = e^{t}.

Passo 4

Agora diferenciamos novamente para eliminar a integral \int_{0}^{t}f(\tau)d\tau. Derivando a equação do passo anterior:
f''(t) + \frac{d}{dt}\bigg(\int_{0}^{t}f(\tau)\,d\tau\bigg) = \frac{d}{dt}\bigg(e^{t}\bigg).
Pelo teorema fundamental do cálculo \frac{d}{dt}\int_{0}^{t}f(\tau)d\tau = f(t). Logo obtemos a equação diferencial ordinária:
f''(t) + f(t) = e^{t}.

Passo 5

Precisamos de condições iniciais para resolver a EDO de segunda ordem. Pegamos t=0 na equação original:
f(0) + \int_{0}^{0}(0-\tau)f(\tau)\,d\tau = e^{0},
o que dá
f(0)=1.
Agora pegamos t=0 na equação do passo 3:
f'(0) + \int_{0}^{0} f(\tau)\,d\tau = e^{0},
logo
f'(0)=1.
Portanto temos a EDO
f''(t)+f(t)=e^{t}
com condições iniciais
f(0)=1,\qquad f'(0)=1.

Passo 6

Resolvendo a EDO: equação homogênea associada
f_h''(t)+f_h(t)=0
tem solução geral
f_h(t)=A\cos t + B\sin t,
onde A e B são constantes. Procuramos uma solução particular para o termo e^{t}. Testamos a forma f_p(t)=C e^{t}. Substituindo em f''+f obtemos
C e^{t} + C e^{t} = 2C e^{t} \overset{!}{=} e^{t},
logo 2C=1 e C=\tfrac{1}{2}. Assim
f_p(t)=\tfrac{1}{2}e^{t}.
A solução geral da EDO é
f(t)=A\cos t + B\sin t + \tfrac{1}{2}e^{t}.

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para determinar A e B. Em t=0:
f(0)=A\cdot 1 + B\cdot 0 + \tfrac{1}{2}\cdot 1 = A + \tfrac{1}{2} = 1,
portanto A=\tfrac{1}{2}.
Derivando f:
f'(t) = -A\sin t + B\cos t + \tfrac{1}{2}e^{t}.
Em t=0:
f'(0) = -A\cdot 0 + B\cdot 1 + \tfrac{1}{2} = B + \tfrac{1}{2} = 1,
portanto B=\tfrac{1}{2}.

Passo 8

Substituindo A e B na solução geral, obtemos
f(t) = \tfrac{1}{2}\cos t + \tfrac{1}{2}\sin t + \tfrac{1}{2}e^{t}.
Fazendo uma checagem rápida na EDO: calculamos
f''(t)=\tfrac{1}{2}e^{t} - \tfrac{1}{2}\cos t - \tfrac{1}{2}\sin t,
e então
f''(t)+f(t)=\big(\tfrac{1}{2}e^{t} - \tfrac{1}{2}\cos t - \tfrac{1}{2}\sin t\big)+\big(\tfrac{1}{2}\cos t + \tfrac{1}{2}\sin t + \tfrac{1}{2}e^{t}\big)=e^{t},
confirmando que a solução satisfaz a EDO (portanto, pela construção, satisfaz a equação integral original).

Resposta

f(t)=\tfrac{1}{2}\big(\cos t + \sin t + e^{t}\big)

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