Calcule as transformadas de Laplace
, em que:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a transformada de Laplace
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função explícita:
. - O pedido: encontrar
, isto é, a integral de Laplace que depende do parâmetro . - Observação importante que será usada: a transformada existe para valores de
com (convergência das integrais exponenciais).
Passo 2
Vou lembrar a definição e uma propriedade-chave que vamos usar:
Definição da transformada de Laplace:
onde
é, em geral, um número complexo e a integral deve convergir.
Propriedade de linearidade (muito útil):
para constantes
. Assim podemos transformar cada termo de
separadamente e somar os resultados.
Passo 3
Aplicando a linearidade em
temos:
Agora calculamos as três transformadas individuais:
,
e
.
Passo 4
Calcular
.
Pelo definito:
Essa integral é simples: para
,
Logo
Passo 5
Calcular
usando integração por partes.
Definição:
Fazendo integração por partes, escolha
e
. Então
e
. Assim
O termo
para
. Já a integral restante vale
(pela Passo 4). Portanto
Passo 6
Calcular
. Vou usar a fórmula geral para potências inteiras não negativas e justificá-la por indução:
Fórmula geral (que se obtém por integração por partes repetida ou usando a função Gamma):
Breve justificativa por indução:
- Caso base
: . - Passo indutivo: suponha
. Então
fazendo integração por partes com
,
obtemos
Assim a fórmula vale para todo
inteiro não negativo.
Agora aplique para
:
Passo 7
Juntando todos os termos calculados no Passo 3:
Podemos escrever de forma limpa: