Calcule as transformadas de Laplace \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}\, em que:
f(t)=t^{3}+2 t+2

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=t^{3}+2t+2 e pede para calcular a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita: f(t)=t^{3}+2t+2.
  • O pedido: encontrar \mathcal{L}\{f(t)\}, isto é, a integral de Laplace que depende do parâmetro s.
  • Observação importante que será usada: a transformada existe para valores de s com \Re(s)>0 (convergência das integrais exponenciais).

Passo 2

Vou lembrar a definição e uma propriedade-chave que vamos usar:
Definição da transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é, em geral, um número complexo e a integral deve convergir.
Propriedade de linearidade (muito útil):
\mathcal{L}\{a\,g(t)+b\,h(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{h(t)\}(s),
para constantes a,b. Assim podemos transformar cada termo de f(t) separadamente e somar os resultados.

Passo 3

Aplicando a linearidade em f(t)=t^{3}+2t+2 temos:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)+2\,\mathcal{L}\{t\}(s)+2\,\mathcal{L}\{1\}(s).
Agora calculamos as três transformadas individuais: \mathcal{L}\{1\}, \mathcal{L}\{t\} e \mathcal{L}\{t^{3}\}.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{1\}(s).
Pelo definito:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Essa integral é simples: para \Re(s)>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\left[ -\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}=\;0-\left(-\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{s}.
Logo
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}\quad(\Re(s)>0).

Passo 5

Calcular \mathcal{L}\{t\}(s) usando integração por partes.
Definição:
\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt.
Fazendo integração por partes, escolha u=t e dv=e^{-s t}\,dt. Então du=dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Assim
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt=\left[-\frac{t}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
O termo \left[-\dfrac{t}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}=0 para \Re(s)>0. Já a integral restante vale \dfrac{1}{s}\cdot \dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{s^{2}} (pela Passo 4). Portanto
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}\quad(\Re(s)>0).

Passo 6

Calcular \mathcal{L}\{t^{3}\}(s). Vou usar a fórmula geral para potências inteiras não negativas e justificá-la por indução:
Fórmula geral (que se obtém por integração por partes repetida ou usando a função Gamma):
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{\,n+1}}\quad\text{para inteiro }n\ge 0,\\ \Re(s)>0.
Breve justificativa por indução:
  • Caso base n=0: \mathcal{L}\{t^{0}\}=\mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}=\dfrac{0!}{s^{1}}.
  • Passo indutivo: suponha \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}. Então
\mathcal{L}\{t^{n+1}\}=\int_{0}^{\infty} t^{n+1}e^{-s t}\,dt
fazendo integração por partes com u=t^{n+1}, dv=e^{-s t}dt obtemos
\mathcal{L}\{t^{n+1}\}=\frac{n+1}{s}\int_{0}^{\infty} t^{n}e^{-s t}\,dt=\frac{n+1}{s}\cdot\frac{n!}{s^{n+1}}=\frac{(n+1)!}{s^{n+2}}.
Assim a fórmula vale para todo n inteiro não negativo.
Agora aplique para n=3:
\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)=\frac{3!}{s^{4}}=\frac{6}{s^{4}}\quad(\Re(s)>0).

Passo 7

Juntando todos os termos calculados no Passo 3:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)+2\,\mathcal{L}\{t\}(s)+2\,\mathcal{L}\{1\}(s) =\frac{6}{s^{4}}+2\cdot\frac{1}{s^{2}}+2\cdot\frac{1}{s}.
Podemos escrever de forma limpa:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{6}{s^{4}}+\frac{2}{s^{2}}+\frac{2}{s},\qquad \Re(s)>0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t^{3}+2t+2\}(s)=\frac{6}{s^{4}}+\frac{2}{s^{2}}+\frac{2}{s} (válido para \Re(s)>0).

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