Usando a definição da transformada de Laplace, determine
em que:
Passo 1
O enunciado pede calcular a transformada de Laplace de
usando a definição. As informações relevantes são:
- A função dada é
definida para (hipótese usual para a transformada de Laplace). - Pede-se
, ou seja, a função de obtida pela integral de Laplace.
Passo 2
Lembrete — definição da transformada de Laplace e o que cada símbolo significa:
Aqui:
-
é a variável do tempo, . -
é a variável complexa da transformada (pensa-se muitas vezes real para cálculos básicos). - A integral é imprópria: precisa convergir, ou seja, o integrando deve decair suficientemente rápido para que o limite do integral exista.
Passo 3
Substituir
na definição:
Passo 4
Simplificar o integrando usando a soma de expoentes:
portanto
Passo 5
Calcular a integral imprópria. Primeiro calcular a primitiva:
desde que
. Avaliando o integral de
a
:
Avaliar os termos: no limite superior precisamos que
, o que ocorre quando a parte real satisfaz
, ou seja,
. Com essa condição,
e no termo em
temos
. Subtraindo:
Passo 6
Interpretação e condição de convergência final: a transformada existe e vale
desde que
. Para o caso usual em que
é real, isso fica
. Em muitas tabelas toma-se
, e em particular para
(caso comum) a fórmula também vale.