Usando a definição da transformada de Laplace, determine \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}\\ em que:
f(t)=e^{-\pi t}

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada de Laplace de f(t)=e^{-\pi t} usando a definição. As informações relevantes são:
  • A função dada é f(t)=e^{-\pi t} definida para t\ge 0 (hipótese usual para a transformada de Laplace).
  • Pede-se \mathcal{L}\{f(t)\}, ou seja, a função de s obtida pela integral de Laplace.

Passo 2

Lembrete — definição da transformada de Laplace e o que cada símbolo significa:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt.
Aqui:
  • t é a variável do tempo, t\ge 0.
  • s é a variável complexa da transformada (pensa-se muitas vezes s real para cálculos básicos).
  • A integral é imprópria: precisa convergir, ou seja, o integrando deve decair suficientemente rápido para que o limite do integral exista.

Passo 3

Substituir f(t)=e^{-\pi t} na definição:
\mathcal{L}\{e^{-\pi t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,e^{-\pi t}\,dt.

Passo 4

Simplificar o integrando usando a soma de expoentes:
e^{-st}\,e^{-\pi t}=e^{-(s+\pi)t},
portanto
\mathcal{L}\{e^{-\pi t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+\pi)t}\,dt.

Passo 5

Calcular a integral imprópria. Primeiro calcular a primitiva:
\int e^{-(s+\pi)t}\,dt = -\frac{1}{s+\pi}\,e^{-(s+\pi)t} + C,
desde que s+\pi\neq 0. Avaliando o integral de 0 a \infty:
\mathcal{L}\{e^{-\pi t}\}(s) = \lim_{T\to\infty}\left[-\frac{1}{s+\pi}\,e^{-(s+\pi)t}\right]_{t=0}^{t=T}.
Avaliar os termos: no limite superior precisamos que e^{-(s+\pi)T}\to 0, o que ocorre quando a parte real satisfaz \operatorname{Re}(s+\pi)>0, ou seja, \operatorname{Re}(s)>-\pi. Com essa condição,
\lim_{T\to\infty} -\frac{1}{s+\pi}e^{-(s+\pi)T}=0,
e no termo em t=0 temos -\frac{1}{s+\pi}e^{-(s+\pi)\cdot 0}=-\frac{1}{s+\pi}. Subtraindo:
\mathcal{L}\{e^{-\pi t}\}(s)=0 -\left(-\frac{1}{s+\pi}\right)=\frac{1}{s+\pi}.

Passo 6

Interpretação e condição de convergência final: a transformada existe e vale \dfrac{1}{s+\pi} desde que \operatorname{Re}(s)>-\pi. Para o caso usual em que s é real, isso fica s>-\pi. Em muitas tabelas toma-se s> -\pi, e em particular para s>0 (caso comum) a fórmula também vale.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{-\pi t}\}(s)=\frac{1}{s+\pi}, para \operatorname{Re}(s)>-\pi

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