(3,0) Calcule as transformadas de Laplace \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}, em que:
f(t)=2+\operatorname{senh} 4 t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\} da função
f(t)=2+\operatorname{senh}4t.
Informações entregues:
  • A função é a soma de uma constante 2 e da função hiperbólica \operatorname{senh}4t.
  • Aqui \operatorname{senh} indica a função seno hiperbólico, isto é \operatorname{senh}x=\operatorname{sinh} x.
    O objetivo é obter uma expressão em função de s para \mathcal{L}\{f(t)\} e indicar a região de convergência em s.

Passo 2

Definição e propriedades que vamos usar (explicadas passo a passo).
  • A transformada de Laplace de uma função g(t) é, por definição,
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}g(t)\,dt,
onde t é a variável do tempo e s é a variável complexa da transformada. A integral converge apenas para valores de s onde o integrando decai suficientemente rápido quando t\to\infty.
  • A transformada é linear: para constantes a,b,
\mathcal{L}\{a\,g_1(t)+b\,g_2(t)\}=a\,\mathcal{L}\{g_1(t)\}+b\,\mathcal{L}\{g_2(t)\}.
Isso permite separar \mathcal{L}\{2+\operatorname{sinh}(4t)\} em dois termos.

Passo 3

Transformada do termo constante 2.
  • Use a definição direta:
\mathcal{L}\{2\}(s)=\int_{0}^{\infty} 2e^{-st}\,dt.
  • Calcule a integral (supondo \operatorname{Re}(s)>0 para convergência):
\int_{0}^{\infty} 2e^{-st}\,dt = 2\left[ -\frac{1}{s}e^{-st} \right]_{0}^{\infty} = 2\left(0 -\left(-\frac{1}{s}\right)\right)=\frac{2}{s}.
Portanto
\mathcal{L}\{2\}(s)=\frac{2}{s},\qquad \text{para }\operatorname{Re}(s)>0.

Passo 4

Representação da função \operatorname{sinh} e transformada usando exponenciais.
  • Lembrando a identidade da função seno hiperbólico:
\operatorname{senh}x=\operatorname{sinh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Assim
\operatorname{senh}(4t)=\frac{e^{4t}-e^{-4t}}{2}.
  • Aplicando a linearidade da transformada,
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(4t)\}(s)=\frac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{4t}\}(s)-\frac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{-4t}\}(s).

Passo 5

Calcular as transformadas das exponenciais e simplificar.
  • Para e^{at} vale
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{at}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt=\frac{1}{s-a},
desde que \operatorname{Re}(s-a)>0 (ou seja, \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a)).
  • Aplicando com a=4 e a=-4:
\mathcal{L}\{e^{4t}\}(s)=\frac{1}{s-4}\quad\text{(precisa de }\operatorname{Re}(s)>4\text{)},
\mathcal{L}\{e^{-4t}\}(s)=\frac{1}{s+4}\quad\text{(precisa de }\operatorname{Re}(s)>-4\text{)}.
  • Logo
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(4t)\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-4}-\frac{1}{s+4}\right).
  • Simplificando a diferença de frações:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-4}-\frac{1}{s+4}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+4)-(s-4)}{(s-4)(s+4)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{s^{2}-16}=\frac{4}{s^{2}-16}.
Portanto
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(4t)\}(s)=\frac{4}{s^{2}-16}.
A região de convergência é \operatorname{Re}(s)>4 (pois o termo e^{4t} exige s>4).

Passo 6

Combinar os termos (pela linearidade) e concluir.
  • Usando os resultados dos passos anteriores:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\mathcal{L}\{2\}(s)+\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(4t)\}(s)=\frac{2}{s}+\frac{4}{s^{2}-16}.
  • Região de convergência: \operatorname{Re}(s)>4.

Resposta

\mathcal{L}\{2+\operatorname{senh}4t\}(s)=\frac{2}{s}+\frac{4}{s^{2}-16},\qquad \operatorname{Re}(s)>4

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