Calcule as transformadas de Laplace
, em que:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace
da função
Informações entregues:
- A função é a soma de uma constante
e da função hiperbólica . - Aqui
indica a função seno hiperbólico, isto é .
O objetivo é obter uma expressão em função depara e indicar a região de convergência em .
Passo 2
Definição e propriedades que vamos usar (explicadas passo a passo).
- A transformada de Laplace de uma função
é, por definição,
onde
é a variável do tempo e
é a variável complexa da transformada. A integral converge apenas para valores de
onde o integrando decai suficientemente rápido quando
.
- A transformada é linear: para constantes
,
Isso permite separar
em dois termos.
Passo 3
Transformada do termo constante
.
- Use a definição direta:
- Calcule a integral (supondo
para convergência):
Portanto
Passo 4
Representação da função
e transformada usando exponenciais.
- Lembrando a identidade da função seno hiperbólico:
Assim
- Aplicando a linearidade da transformada,
Passo 5
Calcular as transformadas das exponenciais e simplificar.
- Para
vale
desde que
(ou seja,
).
- Aplicando com
e :
- Logo
- Simplificando a diferença de frações:
Portanto
A região de convergência é
(pois o termo
exige
).
Passo 6
Combinar os termos (pela linearidade) e concluir.
- Usando os resultados dos passos anteriores:
- Região de convergência:
.