(4,0) Usando a transformada de Laplace, resolva os PVI’s dados:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''(t)-y'(t)-6y(t)=0, \qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=-1.
O que nos pedem é encontrar a função y(t) que satisfaz essa equação diferencial e as condições iniciais. Dados relevantes:
  • Equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: y''-y'-6y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=0 e y'(0)=-1.

Passo 2

Breve revisão da transformada de Laplace que vamos usar (tudo passo a passo):
  • Denotamos por \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) a transformada de Laplace de f.
  • A transformada é linear: \mathcal{L}\{a f+b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Fórmulas importantes para derivadas (essas são as ferramentas que tornam o método rápido): \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} é a transformada de y e s é a variável complexa da transformada. Essas fórmulas resultam de integrar por partes na definição da transformada — aqui usamos elas diretamente porque são padrão.

Passo 3

Aplicar \mathcal{L}\{\cdot\} à equação toda. Tomando transformada dos termos:
\mathcal{L}\{y''\}-\mathcal{L}\{y'\}-6\mathcal{L}\{y\}=0.
Substituindo as fórmulas das derivadas e Y(s):
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)-\big(sY(s)-y(0)\big)-6Y(s)=0.
Agora substituímos as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=-1:
\big(s^{2}Y(s)-s\cdot 0-(-1)\big)-\big(sY(s)-0\big)-6Y(s)=0.
Simplificando os termos constantes:
s^{2}Y(s)+1 - sY(s) -6Y(s)=0.
Agrupando Y(s):
Y(s)\big(s^{2}-s-6\big)+1=0.
Isolando Y(s):
Y(s)=-\dfrac{1}{s^{2}-s-6}.

Passo 4

Fatorar o denominador para facilitar a inversa:
s^{2}-s-6=(s-3)(s+2).
Então
Y(s)=-\dfrac{1}{(s-3)(s+2)}.
Fazemos decomposição em frações parciais:
procuramos A,B tais que
-\dfrac{1}{(s-3)(s+2)}=\dfrac{A}{s-3}+\dfrac{B}{s+2}.
Multiplicando por (s-3)(s+2) obtemos
-1 = A(s+2)+B(s-3).
Escolhendo valores convenientes:
  • Para s=3: -1 = A(5) então A=-\dfrac{1}{5}.
  • Para s=-2: -1 = B(-5) então B=\dfrac{1}{5}.
Portanto
Y(s)=-\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{s-3}+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{s+2} =\dfrac{1}{5}\Big(\dfrac{1}{s+2}-\dfrac{1}{s-3}\Big).

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa. Lembrando a propriedade básica:
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\dfrac{1}{s-a}\Big\}=e^{at}\quad(\text{para }t\ge0).
Aplicando termo a termo:
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} =\dfrac{1}{5}\Big(\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+2}\}-\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-3}\}\Big).
Usando a regra com a=-2 e a=3:
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+2}\}=e^{-2t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-3}\}=e^{3t}.
Logo
y(t)=\dfrac{1}{5}\big(e^{-2t}-e^{3t}\big).

Passo 6

Checagem rápida das condições iniciais (para confiar no resultado):
  • y(0)=\dfrac{1}{5}(1-1)=0 — bate com y(0)=0.
  • y'(t)=\dfrac{1}{5}(-2e^{-2t}-3e^{3t}) então y'(0)=\dfrac{1}{5}(-2-3)=-1 — bate com y'(0)=-1.
    Tudo consistente.

Resposta

\displaystyle y(t)=\dfrac{1}{5}\big(e^{-2t}-e^{3t}\big)

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