Usando a transformada de Laplace, resolva os PVI’s dados:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que nos pedem é encontrar a função
que satisfaz essa equação diferencial e as condições iniciais. Dados relevantes:
- Equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
. - Condições iniciais:
e .
Passo 2
Breve revisão da transformada de Laplace que vamos usar (tudo passo a passo):
- Denotamos por
a transformada de Laplace de . - A transformada é linear:
. - Fórmulas importantes para derivadas (essas são as ferramentas que tornam o método rápido):
onde
é a transformada de
e
é a variável complexa da transformada. Essas fórmulas resultam de integrar por partes na definição da transformada — aqui usamos elas diretamente porque são padrão.
Passo 3
Aplicar
à equação toda. Tomando transformada dos termos:
Substituindo as fórmulas das derivadas e
:
Agora substituímos as condições iniciais
e
:
Simplificando os termos constantes:
Agrupando
:
Isolando
:
Passo 4
Fatorar o denominador para facilitar a inversa:
Então
Fazemos decomposição em frações parciais:
procuramos tais que
procuramos
Multiplicando por
obtemos
Escolhendo valores convenientes:
- Para
: então . - Para
: então .
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa. Lembrando a propriedade básica:
Aplicando termo a termo:
Usando a regra com
e
:
Logo
Passo 6
Checagem rápida das condições iniciais (para confiar no resultado):
-
— bate com . -
então — bate com .
Tudo consistente.