Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções aplicando a definição (considere k\) uma constante real): \(f(t)= \begin{cases}0 & \text { se } 0 \leq t \leq 1 \\\ k & \text { se } 1<t<2 \\\\ 0 & \text { se } t \geq 2\end{cases} Passo 1O enunciado define f(t)= \begin{cases} 0, & 0\le t\le1,\\\ k, & 1<t<2,\\\\ 0, & t\ge2, \end{cases} e pede a transformada de Laplace de f(t). Lembrando que, por definição, \mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt. Vamos usar exatamente essa integral. Passo 2Como f(t)=0 para 0\le t\le1 e também para t\ge2, o integrando só contribui no intervalo (1,2). Logo, \mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt =\int_{1}^{2}k\,e^{-st}\,dt. Passo 3Para calcular \int_{1}^{2}k\,e^{-st}\,dt, fatoramos k e usamos que \int e^{-st}\,dt =-\frac{1}{s}e^{-st}. Aplicando os limites de 1 a 2 dá \int_{1}^{2}k\,e^{-st}\,dt =k\Bigl[-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{t=1}^{t=2} =k\Bigl(-\tfrac{1}{s}e^{-2s} + \tfrac{1}{s}e^{-s}\Bigr). Passo 4Reorganizando os termos, obtemos \mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{k}{s}\bigl(e^{-s}-e^{-2s}\bigr). Resposta \frac{k}{s}\bigl(e^{-s}-e^{-2s}\bigr). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule as transformadas de Laplace das seguintes funções aplicando a definição (considere k uma constante real): f(t)=\cos ^{2} t Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções aplicando a definição (considere k uma constante real): f(t)=t^{2}-2 Quais as partes reais e imaginárias dos seguintes números complexos: z=1+i Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções aplicando a definição (considere k\) uma constante real): \(f(t)= \begin{cases}t & \text { se } 0 \leq t \leq 1 \\\\ 1 & \text { se } 1<t<2 \\\\ 0 & \text { se } t \geq 2\end{cases}