Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções aplicando a definição (considere k\) uma constante real): \(f(t)= \begin{cases}0 & \text { se } 0 \leq t \leq 1 \\\ k & \text { se } 1<t<2 \\\\ 0 & \text { se } t \geq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado define
f(t)= \begin{cases} 0, & 0\le t\le1,\\\ k, & 1<t<2,\\\\ 0, & t\ge2, \end{cases}
e pede a transformada de Laplace de f(t). Lembrando que, por definição,
\mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt.
Vamos usar exatamente essa integral.

Passo 2

Como f(t)=0 para 0\le t\le1 e também para t\ge2, o integrando só contribui no intervalo (1,2). Logo,
\mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt =\int_{1}^{2}k\,e^{-st}\,dt.

Passo 3

Para calcular
\int_{1}^{2}k\,e^{-st}\,dt,
fatoramos k e usamos que
\int e^{-st}\,dt =-\frac{1}{s}e^{-st}.
Aplicando os limites de 1 a 2
\int_{1}^{2}k\,e^{-st}\,dt =k\Bigl[-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{t=1}^{t=2} =k\Bigl(-\tfrac{1}{s}e^{-2s} + \tfrac{1}{s}e^{-s}\Bigr).

Passo 4

Reorganizando os termos, obtemos
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{k}{s}\bigl(e^{-s}-e^{-2s}\bigr).

Resposta

\frac{k}{s}\bigl(e^{-s}-e^{-2s}\bigr).

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