Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções aplicando a definição (considere k uma constante real):
f(t)=t^{2}-2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t^{2}-2 usando a definição
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt.
Vamos separar em duas integrais e calcular cada uma para obter \mathcal{L}\{t^{2}-2\}(s).

Passo 2

Escrevendo pela definição, temos
\mathcal{L}\{t^{2}-2\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\bigl(t^{2}-2\bigr)\,dt =\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-s t}\,dt -2\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt.

Passo 3

Calculamos primeiro
\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt.
Como \displaystyle\int e^{-s t}\,dt=-\frac{1}{s}e^{-s t}, segue
\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt =\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-s t}\Bigr]_{0}^{\infty} =\bigl(0-\bigl(-\tfrac{1}{s}\bigr)\bigr) =\frac{1}{s},
válido para \Re(s)>0. Logo a segunda parte é -2\cdot\frac{1}{s}=-\frac{2}{s}.

Passo 4

Agora calculemos
I=\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-s t}\,dt
por partes duas vezes. Primeiro, tome
\displaystyle u=t^{2},\;dv=e^{-s t}dt, então
\displaystyle du=2t\,dt,\;v=-\frac{1}{s}e^{-s t}. Assim
I =\Bigl[-\frac{t^{2}}{s}e^{-s t}\Bigr]_{0}^{\infty} +\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty}t\,e^{-s t}\,dt =\frac{2}{s}I_{1},
onde
I_{1}=\int_{0}^{\infty}t\,e^{-s t}\,dt.
Para I_{1}, use partes de novo com
\displaystyle u=t,\;dv=e^{-s t}dt, logo
\displaystyle du=dt,\;v=-\frac{1}{s}e^{-s t}. Assim
I_{1} =\Bigl[-\frac{t}{s}e^{-s t}\Bigr]_{0}^{\infty} +\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt =0+\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s} =\frac{1}{s^{2}}.
Logo
I=\frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}}.

Passo 5

Somando as partes,
\mathcal{L}\{t^{2}-2\}(s) =\underbrace{\frac{2}{s^{3}}}_{\mathcal{L}\{t^{2}\}} \;-\;\underbrace{\frac{2}{s}}_{2\,\mathcal{L}\{1\}} =\frac{2}{s^{3}}-\frac{2}{s},\quad \Re(s)>0.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{t^{2}-2\}(s)=\frac{2}{s^{3}}-\frac{2}{s},\quad \Re(s)>0.}

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