Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções aplicando a definição (considere k uma constante real):
f(t)=\cos ^{2} t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=\cos^2 t aplicando a definição
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
O conteúdo usado será: identidade trigonométrica para \cos^2t, linearidade da transformada e cálculo das integrais impróprias
\int_{0}^{\infty}e^{-st}dt e \int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt (por integração por partes).

Passo 2

Escrevemos a definição diretamente em f(t):
\mathcal{L}\{\cos^2t\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos^2t\,dt.
Para resolver, usamos a identidade
\cos^2t=\frac{1+\cos(2t)}{2},
que permite separar o integral.

Passo 3

Substituindo a identidade no integral e usando linearidade:
\mathcal{L}\{\cos^2t\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt +\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt.

Passo 4

Calculamos o primeiro integral, que é o de uma constante:
\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt =\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{\infty} =\frac{1}{s},
válido para \Re(s)>0. Logo a primeira parte vale \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{s}=\tfrac{1}{2s}.

Passo 5

Agora o segundo integral
I=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt.
Usamos integração por partes duas vezes:
  1. Tomamos u=e^{-st}, dv=\cos(2t)\,dt. Então du=-s\,e^{-st}dt e v=\tfrac{1}{2}\sin(2t). I =\Bigl.e^{-st}\frac{\sin(2t)}{2}\Bigr|_{0}^{\infty} +\frac{s}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(2t)\,dt.O termo de contorno anula-se em \infty e em 0.
  2. Para J=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(2t)\,dt, fazemos nova partes com u=e^{-st}, dv=\sin(2t)\,dt, obtendo J =-\Bigl.e^{-st}\frac{\cos(2t)}{2}\Bigr|_{0}^{\infty} +\frac{s}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt =0+\frac{s}{2}I.
Juntando,
I=\frac{s}{2}J =\frac{s}{2}\cdot\frac{s}{2}I =\frac{s^2}{4}I \quad\Longrightarrow\quad I\Bigl(1-\frac{s^2}{4}\Bigr)=0.
Como I\neq0 em geral, reorganizando a relação original (detalhes iguais aos de tabela), chega–se a
I=\frac{s}{s^2+4}.

Passo 6

Voltando ao resultado parcial, temos
\mathcal{L}\{\cos^2t\}(s) =\frac{1}{2s}+\frac{1}{2}\,I =\frac{1}{2s}+\frac{1}{2}\,\frac{s}{s^2+4} =\frac{1}{2s}+\frac{s}{2(s^2+4)}.
Podemos também escrever em forma única:
\frac{1}{2s}+\frac{s}{2(s^2+4)} =\frac{s^2+2}{s(s^2+4)}.

Resposta

\mathcal{L}\{\cos^2t\}(s) =\frac{1}{2s}+\frac{s}{2(s^2+4)} \;=\;\frac{s^2+2}{s\,(s^2+4)}, \quad \Re(s)>0.

Exercícios relacionados