O conteúdo usado será: identidade trigonométrica para \cos^2t, linearidade da transformada e cálculo das integrais impróprias \int_{0}^{\infty}e^{-st}dt e \int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt (por integração por partes).
válido para \Re(s)>0. Logo a primeira parte vale \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{s}=\tfrac{1}{2s}.
Passo 5
Agora o segundo integral
I=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt.
Usamos integração por partes duas vezes:
Tomamos u=e^{-st}, dv=\cos(2t)\,dt. Então du=-s\,e^{-st}dt e v=\tfrac{1}{2}\sin(2t).I =\Bigl.e^{-st}\frac{\sin(2t)}{2}\Bigr|_{0}^{\infty} +\frac{s}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(2t)\,dt.O termo de contorno anula-se em \infty e em 0.
Para J=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(2t)\,dt, fazemos nova partes com u=e^{-st}, dv=\sin(2t)\,dt, obtendoJ =-\Bigl.e^{-st}\frac{\cos(2t)}{2}\Bigr|_{0}^{\infty} +\frac{s}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt =0+\frac{s}{2}I.