Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções aplicando a definição (considere k\) uma constante real): \(f(t)= \begin{cases}t & \text { se } 0 \leq t \leq 1 \\\\ 1 & \text { se } 1<t<2 \\\\ 0 & \text { se } t \geq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= \begin{cases} t, &0\le t\le1,\\\\ 1, &1<t<2,\\\\ 0, &t\ge2, \end{cases}
usando a definição. O conteúdo envolvido é a definição integral da transformada de Laplace e técnicas de integração (por partes e integral de exponencial).

Passo 2

Pela definição da transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{f\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,\mathrm dt.
Como f(t)=0 para t\ge2, basta separar em dois trechos:
\mathcal{L}\{f\}(s) =\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,\mathrm dt +\int_{1}^{2}1\cdot e^{-st}\,\mathrm dt.

Passo 3

Calculemos
I_1=\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,\mathrm dt
por partes, com u=t e \mathrm dv=e^{-st}\mathrm dt. Então \mathrm du=\mathrm dt e v=-\tfrac{1}{s}e^{-st}. Logo,
I_1 =\Bigl[-\tfrac{t}{s}e^{-st}\Bigr]_0^1 +\frac{1}{s}\int_{0}^{1}e^{-st}\,\mathrm dt =-\frac{1}{s}e^{-s} +\frac{1}{s}\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_0^1.
Conclui-se
I_1 =-\frac{1}{s}e^{-s} -\frac{1}{s^2}\bigl(e^{-s}-1\bigr) =\frac{1}{s^2}-\frac{s+1}{s^2}\,e^{-s}.

Passo 4

Agora
I_2=\int_{1}^{2}e^{-st}\,\mathrm dt =\Bigl[-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_1^2 =\frac{1}{s}\bigl(e^{-s}-e^{-2s}\bigr).

Passo 5

Somando I_1 e I_2 e simplificando:
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{1}{s^2}-\frac{s+1}{s^2}e^{-s} +\frac{1}{s}\bigl(e^{-s}-e^{-2s}\bigr) =\frac{1}{s^2}-\frac{e^{-s}}{s^2}-\frac{e^{-2s}}{s}.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{1}{s^2}-\frac{e^{-s}}{s^2}-\frac{e^{-2s}}{s}.

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