Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções aplicando a definição (considere k uma constante real):
f(t)=t\left(e^{t}+e^{2 t}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t
para a função
f(t)=t\bigl(e^{t}+e^{2t}\bigr)^{2}.
O conteúdo principal é usar a definição da transformada e a propriedade da linearidade, além da fórmula fundamental
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-a t}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{a^{2}}\quad(\Re(a)>0).

Passo 2

Primeiro expandimos o quadrado:
\bigl(e^{t}+e^{2t}\bigr)^{2} =e^{2t}+2e^{3t}+e^{4t}.
Logo
f(t)=t\,e^{2t}+2\,t\,e^{3t}+t\,e^{4t}.
Pela linearidade de \mathcal{L}, temos
F(s) =\int_{0}^{\infty}t\,e^{2t}e^{-st}\,\mathrm{d}t +2\int_{0}^{\infty}t\,e^{3t}e^{-st}\,\mathrm{d}t +\int_{0}^{\infty}t\,e^{4t}e^{-st}\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Em cada integral aparece o termo t\,e^{-(s-a)t} com a=2,3,4. Usamos
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-(s-a)t}\,\mathrm{d}t =\frac{1}{(s-a)^{2}},
válido se \Re(s)>a. Assim:
\int_{0}^{\infty}t\,e^{2t}e^{-st}\,\mathrm{d}t =\frac{1}{(s-2)^{2}},\quad \int_{0}^{\infty}t\,e^{3t}e^{-st}\,\mathrm{d}t =\frac{1}{(s-3)^{2}},\quad \int_{0}^{\infty}t\,e^{4t}e^{-st}\,\mathrm{d}t =\frac{1}{(s-4)^{2}}.

Passo 4

Substituindo no somatório, obtemos
F(s) =\frac{1}{(s-2)^{2}} +2\cdot\frac{1}{(s-3)^{2}} +\frac{1}{(s-4)^{2}}.

Resposta

F(s)=\frac{1}{(s-2)^{2}}+\frac{2}{(s-3)^{2}}+\frac{1}{(s-4)^{2}},\quad \Re(s)>4.

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