Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções aplicando a definição e/ou as propriedades. Considere \boldsymbol{t} a variável e \boldsymbol{a} e \boldsymbol{w} constantes.
(g) \boldsymbol{e}^{-\boldsymbol{t}} \boldsymbol{\operatorname { c o s }}^{\mathbf{2}} \boldsymbol{t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=e^{-t}\cos^2 t,
onde t é a variável de tempo e a e w são constantes (aqui não usadas diretamente). Vamos usar a definição da transformada
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt
e a identidade trigonométrica para \cos^2 t.

Passo 2

Aplicando a definição, temos
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos^2 t\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,e^{-t}\cos^2 t\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)t}\cos^2 t\,dt,
válido para \Re(s+1)>0.

Passo 3

Usamos a identidade
\cos^2 t=\frac{1+\cos(2t)}{2},
então
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos^2 t\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)t}\frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt =\tfrac12\int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)t}dt +\tfrac12\int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)t}\cos(2t)\,dt.

Passo 4

Calculamos separadamente:
  1. \displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)t}dt=\frac{1}{s+1}.
  2. A transformada de e^{-(s+1)t}\cos(2t) é
\int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)t}\cos(2t)\,dt =\frac{s+1}{(s+1)^2+2^2} =\frac{s+1}{(s+1)^2+4}.

Passo 5

Somando e colocando o fator \tfrac12, obtém-se
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos^2 t\}(s) =\tfrac12\Bigl(\frac{1}{s+1}+\frac{s+1}{(s+1)^2+4}\Bigr).

Passo 6

Para ficar num único quociente, somamos as frações:
\tfrac12\Bigl(\frac{1}{s+1}+\frac{s+1}{(s+1)^2+4}\Bigr) =\frac{(s+1)^2+2}{(s+1)\bigl((s+1)^2+4\bigr)}.
Expandindo o numerador, (s+1)^2+2=s^2+2s+3.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{e^{-t}\cos^2 t\}(s) =\frac{s^2+2s+3}{(s+1)\bigl((s+1)^2+4\bigr)},\quad \Re(s)>-1.}

Exercícios relacionados