Uma massa pesando 64 libras presa a uma extremidade da mola distende-a em 0,32 pé. A massa é inicialmente solta de um ponto 8 polegadas acima da posição de equilíbrio a uma velocidade de 5 pés/s para baixo.
a) Determine a equação do movimento.
b) Qual é a amplitude e o período do movimento?
c) Quantas ciclos completos a massa concluirá após
segundos?
d) Em que instante a massa passa pela posição de equilíbrio, dirigindo-se para baixo pela segunda vez?
e) Em que instante a massa atinge seu deslocamento extremo em cada lado da posição de equilíbrio?
f) Qual é a posição da massa em
?
g) Qual é a velocidade instantânea em
?
h) Qual é a aceleração em
?
i) Qual é a velocidade instantânea no instante em que a massa passa pela posição de equilíbrio?
j) Em que instante a massa está 5 polegadas abaixo da posição de equilíbrio?
k) Em que instante a massa está 5 polegadas abaixo da posição de equilíbrio e se dirige para cima?
a) Determine a equação do movimento.
b) Qual é a amplitude e o período do movimento?
c) Quantas ciclos completos a massa concluirá após
d) Em que instante a massa passa pela posição de equilíbrio, dirigindo-se para baixo pela segunda vez?
e) Em que instante a massa atinge seu deslocamento extremo em cada lado da posição de equilíbrio?
f) Qual é a posição da massa em
g) Qual é a velocidade instantânea em
h) Qual é a aceleração em
i) Qual é a velocidade instantânea no instante em que a massa passa pela posição de equilíbrio?
j) Em que instante a massa está 5 polegadas abaixo da posição de equilíbrio?
k) Em que instante a massa está 5 polegadas abaixo da posição de equilíbrio e se dirige para cima?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos (peguei todos os dados do enunciado).
- Uma massa pesa
. Em unidades do sistema inglês isso significa força peso . - A gravidade neste sistema vale
. A massa (em slugs) é . - A mola é distendida
(ou seja ) quando a massa fica em equilíbrio; isso nos dá a constante elástica pela lei de Hooke sob peso: . - A massa é solta inicialmente de um ponto
acima da posição de equilíbrio e com velocidade inicial de para baixo. - Converter posição inicial para pés:
. - Vou adotar a convenção positiva: deslocamento
positivo para baixo a partir da posição de equilíbrio. Assim: -
(pois está ft acima da posição de equilíbrio), -
(velocidade para baixo positiva).
-
- Converter posição inicial para pés:
- O problema pede várias coisas (a)–(k): equação do movimento, amplitude, período, número de ciclos em
s, instantes de passagem pela origem/ extremos, posição, velocidade e aceleração em s, velocidades ao passar pela origem, instantes em que in e direção do movimento.
Passo 2
Encontrar a constante da mola
e a equação diferencial do movimento.
- A constante elástica:
- A massa é
. Para um sistema massa-mola sem amortecimento a equação é
Substituindo:
Isto é um oscilador harmônico simples com
, logo
.
Passo 3
Resolver a equação diferencial geral e aplicar condições iniciais (aulas rápidas dentro do passo).
- Para a equação
a solução geral é uma combinação de cosseno e seno:
Aqui
, então
- Explico por que: essa é a solução típica de uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com raízes imaginárias
; as combinações de e descrevem as oscilações. - Aplicando
:
- A derivada é
Em
:
- Portanto a equação do movimento (forma explícita) é
Passo 4
Determinar amplitude e período (mini-aula sobre amplitude e período).
- Amplitude
para uma solução é
pois pode-se escrever
.
- Aqui
e . Então
- Em polegadas:
. (Legal: amplitude = 10 in.) - Período
da oscilação é
Passo 5
Quantos ciclos completos em
segundos.
- Número de ciclos
- Logo
ciclos completos.
Passo 6
Passagens pela posição de equilíbrio
e identificação da segunda vez dirigindo-se para baixo (resolução detalhada).
- Condição
dá
ou
- Solução geral:
- Para saber a direção (para baixo se
), usamos a expressão para . Calculamos uma forma simples:
- Avaliando o primeiro zero com
: . Seja . Conhecendo o triângulo temos , . Então
ou seja, o primeiro cruzamento é dirigindo-se para baixo (era de esperar: a massa foi solta de cima e vai para baixo).
- Cruzamentos dirigindo-se para baixo ocorrem para
par (pois o sinal alterna a cada inteiro). O primeiro (com ) é o primeiro cruzamento dirigido para baixo; o segundo cruzamento dirigido para baixo ocorre para . - Então o instante da segunda passagem pela origem dirigindo-se para baixo é
- Valor numérico:
. Assim
Passo 7
Instantes em que a massa atinge os deslocamentos extremos de cada lado (explicação com fase).
- É conveniente reescrever
na forma de amplitude-fase:
onde
e
satisfaz
,
.
- Calculando
:
Isso coloca
no segundo quadrante. Tomando o valor principal,
- Extremos ocorrem quando
, isto é: - para o extremo positivo (máximo
): , - para o extremo negativo (mínimo
): .
- para o extremo positivo (máximo
- Portanto os instantes são
- Primeiros instantes positivos (pequenas aproximações):
- Primeiro máximo (para baixo positivo):
. - Primeiro mínimo (para cima negativo):
.
- Primeiro máximo (para baixo positivo):
Passo 8
Pediram a posição, velocidade e aceleração em
— calcular numericamente com cuidado.
- Relembrando:
- Avaliando em
(ângulos em radianos: ). Valores numéricos conhecidos:
, . - Posição:
Em polegadas:
(acima da posição de equilíbrio).
- Velocidade:
(Negativo → movendo-se para cima.)
- Aceleração:
Passo 9
Velocidade ao passar pela posição de equilíbrio (máxima velocidade) — explicação conceitual.
- Em MHS sem amortecimento a velocidade máxima ocorre na posição de equilíbrio e tem módulo
. - Aqui
- Então, ao passar pela posição de equilíbrio:
- se estiver dirigindo para baixo a velocidade instantânea é
, - se estiver dirigindo para cima é
.
- se estiver dirigindo para baixo a velocidade instantânea é
Passo 10
Quando a massa está
polegadas abaixo da posição de equilíbrio? (resolução elegante usando a forma faseada)
-
polegadas = ft. - Usando
com e calculada, resolver
- Divide ambos os lados por
:
- Solução geral:
- Valores numéricos para os dois primeiros instantes positivos (pequeno cálculo):
- Com o sinal ``
’’ (menor positivo): - Com o sinal ``
’’ (o outro no mesmo ciclo):
- Com o sinal ``
Passo 11
Quando a massa está
polegadas abaixo e dirigindo-se para cima?
- Da formula anterior, a direção do movimento é dada por
- Para as soluções
temos dois tipos de ângulo: -
tem → então
é negativo → movendo-se para cima. -
tem → → movendo-se para baixo.
-
- Assim os instantes em que está
in abaixo e dirigindo-se para cima são
- O primeiro instante positivo é (com
):
Resposta
(a)
(b) Amplitude
. Período
.
(c)
ciclos completos em
segundos.
(d) Segunda passagem pela posição de equilíbrio dirigindo-se para baixo:
(e) Extremos (geral):
onde
. Primeiros positivos:
,
.
(f)
.
(g)
.
(h)
.
(i) Velocidade instantânea ao passar pela posição de equilíbrio:
sendo
quando se dirige para baixo.
(j) Instantes em que
5 in abaixo (geral):
Primeiros positivos:
e
.
(k) Instantes em que
in abaixo e dirigindo-se para cima (geral):
Primeiro positivo:
.