Calcule as transformadas de Laplace usando a definição.
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh} (k t)\}^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, via definição, a transformada de Laplace de \operatorname{cosh}(k t). O conteúdo principal aqui é a integral imprópria
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt
aplicada ao caso f(t)=\operatorname{cosh}(k t). Vamos também usar que
\operatorname{cosh}(k t)=\frac{e^{k t}+e^{-k t}}{2}.

Passo 2

Escrevemos a definição substituindo \operatorname{cosh}(k t):
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(k t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\operatorname{cosh}(k t)\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,\frac{e^{k t}+e^{-k t}}{2}\,dt.
Fatoramos 1/2 e separamos em duas integrais:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(k t)\}(s) =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-(s-k)t}\,dt +\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-(s+k)t}\,dt.

Passo 3

Cada integral é do tipo \int_{0}^{\infty}e^{-a t}\,dt, que converge para 1/a se \Re(a)>0. Aqui precisamos de \Re(s-k)>0 e \Re(s+k)>0, ou seja \Re(s)>|k|. Portanto:
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-k)t}\,dt=\frac{1}{s-k}, \qquad \int_{0}^{\infty}e^{-(s+k)t}\,dt=\frac{1}{s+k}.

Passo 4

Somando e simplificando obtemos
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(k t)\}(s) =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{s-k}+\frac{1}{s+k}\Bigr) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+k)+(s-k)}{(s-k)(s+k)} =\frac{s}{s^{2}-k^{2}}.
A região de convergência é \Re(s)>|k|.

Resposta

\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(k t)\}(s) =\frac{s}{s^{2}-k^{2}},\quad \Re(s)>|k|.

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