Calcule as transformadas de Laplace usando a definição ou as propriedades.
f(t)=e^{3 t} \operatorname{cosh} 2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=e^{3t}\operatorname{cosh}(2t).
O tema é transformada de Laplace e, em particular, vamos usar
  1. a transformada de \operatorname{cosh}(2t), e
  2. a propriedade de deslocamento L\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s-a).

Passo 2

Primeiro, recordemos a transformada de Laplace de \operatorname{cosh}(2t). Por definição ou tabela, para \Re(s)>2:
L\{\operatorname{cosh}(2t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\operatorname{cosh}(2t)\,dt =\frac{s}{s^{2}-4}.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de deslocamento:
se G(s)=L\{\operatorname{cosh}(2t)\}(s), então
L\{e^{3t}\operatorname{cosh}(2t)\}(s) =G(s-3) =\frac{s-3}{(s-3)^{2}-4}.

Passo 4

Basta simplificar o denominador:
(s-3)^{2}-4 =s^{2}-6s+9-4 =s^{2}-6s+5 =(s-1)(s-5).
Logo
L\{e^{3t}\operatorname{cosh}(2t)\}(s) =\frac{s-3}{(s-1)(s-5)},
com região de convergência \Re(s)>5.

Resposta

\frac{s-3}{(s-1)(s-5)},\quad \Re(s)>5.

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