(2 pontos) Resolva a EDO
y^{\prime \prime}+y=1
com condições iniciais y(0)=1 e y^{\prime}(0)=6 usando o método da transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' + y = 1
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=6 usando o método da transformada de Laplace.
O conteúdo necessário inclui a transformada de Laplace de derivadas, a transformada de funções constantes, frações parciais e a transformada inversa.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Denotando
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\},
temos
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-s-6,
\mathcal{L}\{y\}=Y(s),
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}.
Logo a equação transformada fica
\bigl(s^2Y(s)-s-6\bigr)+Y(s)=\frac{1}{s}.

Passo 3

Agrupando Y(s), obtemos
(s^2+1)\,Y(s)-s-6=\frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{\frac{1}{s}+s+6}{s^2+1}.

Passo 4

Decompondo em frações parciais e simplificando, escrevemos
Y(s) =\frac{1}{s(s^2+1)}+\frac{s}{s^2+1}+\frac{6}{s^2+1}.
Sabendo que
\frac{1}{s(s^2+1)} =\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+1},
temos
Y(s) =\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+1}\Bigr)+\frac{s}{s^2+1}+\frac{6}{s^2+1} =\frac{1}{s}+\frac{6}{s^2+1}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa:
y(t) =\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s}\Bigr\} +6\,\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^2+1}\Bigr\} =1+6\sin(t).

Resposta

y(t)=1+6\sin(t).

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