Calcule com três casas decimais de precisão o valor da integral definida.
integral0^0,1 ln (1+sin x) d x

Passo 1

Temos a integral definida integral0^0,1lnl(1+sin xr),dx. O conteúdo aqui é integração numérica, e para atingir três casas decimais de precisão vamos usar a regra de Simpson composta.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,0,1] em n=4 subintervalos iguais de comprimento h=tfrac0,1-04=0,025. Definimos os pontos de nó: x0=0, x1=0,025, x2=0,05, x3=0,075, x4=0,1.

Passo 3

Em cada nó calculamos f(x)=lnl(1+sin xr). Como x é pequeno, usamos as séries de Taylor:
sin xapprox x-tfracx^36+tfracx^5120, ln(1+u)approx u-tfracu^22+tfracu^33-cdots

Passo 4

Fazendo as contas (valores arredondados): f0=0, f1approx0,024690, f2approx0,048771, f3approx0,072255, f4approx0,093795.

Passo 5

Aplicamos a regra de Simpson:
integral0^0,1f(x),dxapproxh3l[f0+4(f1+f3)+2f2+f4r] =0,0253l[0+4(0,024690+0,072255)+2(0,048771)+0,093795r]approx0,004826

Passo 6

Arredondando esse valor para três casas decimais obtemos 0,005.

Resposta

0,005

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