Esboçar o gráfico das seguintes funções :
h(x, y)=y^2+4

Passo 1

Temos a função de duas variáveis definida por h(x,y)=y^2+4. O conteúdo aqui é esboço de superfície em R^3, e vamos usar curvas de nível e seções transversais para entender a forma do gráfico.

Passo 2

Observe que h(x,y) não depende de x. Isso significa que, para cada valor fixo de x, a seção da superfície no plano paralelo a (y,z) é exatamente a parábola z=y^2+4.

Passo 3

Para caracterizar melhor, consideremos as curvas de nível h(x,y)=c. Temos
y^2+4=c
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y=pmraizc-4, c>=4

Passo 4

Cada uma dessas curvas de nível é dada por duas retas paralelas ao eixo x, localizadas em y=±√(c−4). Isso reforça que a superfície é um cilindro no sentido x.

Passo 5

Agora, nas seções transversais:
  • No plano x=0 temos a parábola
z=y^2+4,
que abre para cima e está deslocada 4 unidades em z.
- No plano y=0 temos
z=0^2+4=4,
ou seja, a interseção é a reta z=4 paralela ao eixo x.

Passo 6

Para esboçar: primeiro desenhe a parábola z=y^2+4 no plano (y,z), depois “estenda” essa forma paralelamente ao eixo x, obtendo um cilindro parabólico.
Assim, o gráfico de h é um cilindro parabólico que abre para cima no sentido de z, deslocado de 4 unidades em relação ao plano z=0.

Resposta

O gráfico é um cilindro parabólico dado por z=y^2+4, isto é, a parábola z=y^2+4 extrudada ao longo do eixo x.

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