Mostre que para cada função f dada, lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe:
f(x, y)=x-yx+y

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x-yx+y e queremos saber se lim(x,y)to(0,0)f(x,y) existe em R^2. Para isso, vamos usar a ideia de que, em R^2, o limite só existe se for o mesmo por todas as direções de aproximação (todos os caminhos).

Passo 2

Escolhemos aproximar (x,y) de (0,0) ao longo das retas de inclinação m, ou seja, definimos y=mx com mneq -1 para evitar divisão por zero no denominador. Substituindo na função, temos:

Passo 3

f(x,mx)=x-mxx+mx=1-m1+m\nNote que o resultado não depende de x, mas só de m.

Passo 4

Para ver que o valor varia conforme m, basta escolher dois valores distintos de m. Por exemplo, se m=0 (reta y=0), então f(x,0)=1. Se m=1 (reta y=x), então f(x,x)=0. Esses dois limites são diferentes, ou seja, o valor de lim(x,y)to(0,0)f(x,y) depende do caminho de aproximação.

Resposta

O limite não existe, pois as aproximações por diferentes retas dão valores distintos.

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