Mostre que para cada função
dada,
não existe:
Passo 1
Temos a função
e queremos saber se
existe em
. Para isso, vamos usar a ideia de que, em
, o limite só existe se for o mesmo por todas as direções de aproximação (todos os caminhos).
Passo 2
Escolhemos aproximar
de
ao longo das retas de inclinação
, ou seja, definimos
com
para evitar divisão por zero no denominador. Substituindo na função, temos:
Passo 3
Passo 4
Para ver que o valor varia conforme
, basta escolher dois valores distintos de
. Por exemplo, se
(reta
), então
. Se
(reta
), então
. Esses dois limites são diferentes, ou seja, o valor de
depende do caminho de aproximação.
Resposta
O limite não existe, pois as aproximações por diferentes retas dão valores distintos.