Questão 5. Suponha que o movimento de uma partícula no eixo y seja regido pela equação
y^{\prime \prime}+3 y y^{\prime}=0 .
Determine a relação entre v e y.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de movimento
y'' + 3\,y\,y' = 0
em que y é função de t. O conteúdo é resolução de equação diferencial de segunda ordem via redução de ordem, usando a substituição v = y'.

Passo 2

Definimos v = y'. Para reescrever y'' em termos de v e y, usamos a regra da cadeia:
y'' = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dt} = v\,\frac{dv}{dy}.

Passo 3

Substituindo na equação original obtemos
v\,\frac{dv}{dy} + 3\,y\,v = 0.
Como estamos interessados na solução não-trivial, assumimos v\neq0 e dividimos por v:
\frac{dv}{dy} + 3\,y = 0.

Passo 4

Integramos a equação em y:
\frac{dv}{dy} = -3\,y \quad\Longrightarrow\quad v(y) = \int (-3\,y)\,dy = -\tfrac{3}{2}\,y^2 + C,
em que C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, v = y', a relação entre v e y é
v = C - \tfrac{3}{2}\,y^2.

Resposta

v = C - \tfrac{3}{2}\,y^2,
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados