Calcule u=x, v=x y, onde w=3 z, utilizando a mudança de variáveis: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla integral triplaB(x^2 y + 3 x y z) dV, onde a região B é definida por 1 <= x <= 2, 0 <= x y <= 2 e 0 <= z <= 1. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variáveis usando u = x, v = x y e w = 3 z. Isso vai ajudar a simplificar a integral. Vamos precisar calcular o Jacobiano dessa transformação e ajustar os limites de integração de acordo com as novas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar x, y e z em termos de u, v e w:
u = x Rightarrow x = u
v = x y Rightarrow y = vu
w = 3 z Rightarrow z = w3

Passo 3

Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é uma matriz que contém as derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas. Ele nos ajuda a ajustar a integral quando mudamos de variável.
A matriz Jacobiana J é dada por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = 1 & 0 & 0 -vu^2 & 1u & 0 0 & 0 & 13

Passo 4

Calculando o determinante do Jacobiano:
|J| = 13u
Isso significa que dV = |J| du, dv, dw = 13u du, dv, dw.

Passo 5

Vamos reescrever a função que está dentro da integral em termos de u, v e w:
x^2 y + 3 x y z = u^2 (vu) + 3 u (vu) (w3) = u v + v w
Multiplicando pelo Jacobiano:
(u v + v w) times 13u = v3 + v w3u

Passo 6

Agora, vamos ajustar os limites de integração de acordo com as novas variáveis:
1 <= u <= 2, 0 <= v <= 2, 0 <= w <= 3

Passo 7

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em w:
integral0^3 (v3 + v w3u) dw = v3 times 3 + v3u times w^22 g|0^3 = v + 3v2u

Passo 8

Em seguida, integramos em v:
integral0^2 (v + 3v2u) dv = v^22 + 3v^24u g|0^2 = 2 + 3u

Passo 9

Por último, integramos em u:
integral1^2 (2 + 3u) du = 2u + 3 ln u g|1^2 = (4 + 3 ln 2) - (2 + 0) = 2 + 3 ln 2

Resposta

O valor da integral é 2 + 3 ln 2.

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