Calcule , onde , utilizando a mudança de variáveis: e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla , onde a região é definida por , e . Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variáveis usando , e . Isso vai ajudar a simplificar a integral. Vamos precisar calcular o Jacobiano dessa transformação e ajustar os limites de integração de acordo com as novas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar , e em termos de , e :
Passo 3
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é uma matriz que contém as derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas. Ele nos ajuda a ajustar a integral quando mudamos de variável.
A matriz Jacobiana é dada por:
Passo 4
Calculando o determinante do Jacobiano:
|J| = 13u
Isso significa que dV = |J| du, dv, dw = 13u du, dv, dw.
Passo 5
Vamos reescrever a função que está dentro da integral em termos de u, v e w:
x^2 y + 3 x y z = u^2 (vu) + 3 u (vu) (w3) = u v + v w
Multiplicando pelo Jacobiano:
(u v + v w) times 13u = v3 + v w3u
Passo 6
Agora, vamos ajustar os limites de integração de acordo com as novas variáveis:
1 <= u <= 2, 0 <= v <= 2, 0 <= w <= 3
Passo 7
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em w:
integral0^3 (v3 + v w3u) dw = v3 times 3 + v3u times w^22 g|0^3 = v + 3v2u
Passo 8
Em seguida, integramos em v:
integral0^2 (v + 3v2u) dv = v^22 + 3v^24u g|0^2 = 2 + 3u