Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral dada.
integral1 / 2^raiz2 / 2 4raiz1-x^2 d x

Passo 1

Temos uma integral definida de 4raiz1 - x^2 de x = tfrac12 até x = tfracraiz22. O conteúdo aqui é usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que, para avaliar integrala^b f(x),dx, basta encontrar uma antiderivada F(x) de f(x) e calcular F(b) - F(a). Como integral 1raiz1 - x^2,dx = arcsin x + C, vamos usar isso como base.

Passo 2

Para achar uma antiderivada de 4raiz1 - x^2, fatoramos o 4 e usamos o resultado conhecido. A antiderivada é
integral 4raiz1 - x^2,dx = 4 integral 1raiz1 - x^2,dx = 4 arcsin x + C

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos nos limites:
integral1/2^raiz2/2 4raiz1 - x^2,dx = 4 arcsin x l|1/2^raiz2/2 = 4l(arcsin(tfracraiz22) - arcsin(tfrac12)r)

Passo 4

Sabendo que arcsin(tfracraiz22) = tfracpi4 e arcsin(tfrac12) = tfracpi6, temos
4l(tfracpi4 - tfracpi6r) = 4 cdot tfracpi12 = tfracpi3

Resposta

pi3

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