Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule
, onde
é dado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. O enunciado é:
Calcular
, onde
é dado por:
Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução, além de entender bem os limites de integração e como transformar a função e os limites para essas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Elas são representadas por
, onde:
-
é a distância do ponto à origem no plano , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
é a mesma coordenada no sistema cartesiano.
As relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas são:
Também precisamos lembrar que o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é:
Passo 3
Agora, vamos transformar a função
para coordenadas cilíndricas. Sabemos que
, então a função fica:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas. A região
é definida por:
Primeiro, vamos encontrar os limites para
. A condição
pode ser escrita como:
Para
,
varia de
a
, e como
, então
varia de
a
. Porém, como
vai de
a
, e
é sempre positivo, podemos simplificar e considerar
de
a
, mas para facilitar, notamos que
implica
. No entanto, para simplificação e análise geométrica, podemos considerar
de
a
, mas vamos manter
de
a
.
Para
, ele varia de
a
, já que
.
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas com os limites encontrados:
Passo 6
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro:
Fazendo a substituição
, então
, quando
,
, e quando
,
. A integral vira:
Integrando
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a
:
Passo 8
A integral de
pode ser resolvida usando integração por partes ou fórmulas padrão. Sabemos que:
E também:
Portanto, após aplicar essas integrais, teremos uma expressão em termos de
.
Passo 9
Calculando a integral definida:
Após calcular as antiderivadas e substituir os limites, obtemos um valor numérico.
Resposta
O valor final da integral tripla é
, que simplificando dá aproximadamente 0,133.