Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral dada.
integral1^3 (3 x+1)^2x^3 d x

Passo 1

Você quer calcular integral1^3(3x+1)^2x^3,dx. O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo: a gente encontra uma antiderivada F(x) da função integranda e depois avalia F(3)-F(1).

Passo 2

Vamos simplificar a integranda. Primeiro expandimos (3x+1)^2 e dividimos por x^3:
(3x+1)^2 = 9x^2+6x+1
(3x+1)^2x^3 = 9x^2+6x+1x^3 = 9x^-1+6x^-2+x^-3

Passo 3

Agora integramos termo a termo para achar a antiderivada F(x):
integral 9x^-1,dx = 9ln(x),
integral 6x^-2,dx = 6cdotx^-1-1 = -6x,
integral x^-3,dx = x^-2-2 = -12x^2
Somando essas partes, obtemos
$$
F(x) = 9\ln(x) - \frac{6}{x} - \frac{1}{2x^2}.
$$

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliamos F(3) - F(1). Primeiro em x=3:
F(3) = 9ln(3) - 63 - 12cdot3^2 = 9ln(3) - 2 - 118 = 9ln(3) - 3718
Em x=1 temos
F(1) = 9ln(1) - 6 - 12 = 0 - 6 - 12 = -132 = -11718
Subtraindo:
F(3)-F(1) = l(9ln(3) - 3718r) - l(-11718r) = 9ln(3) + 8018 = 9ln(3) + 409

Resposta

9ln(3) + 409

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