Calcule, usando coordenadas cilíndricas, calcule:
(a) integral triplaW(x^2+y+z^2)^3 d x d y d z, onde W é o sólido limitado pelo cilindro x^2+z^2=1 e pelos planos y=0 e y=1.

Passo 1

Estamos calculando a integral tripla de (x^2 + y + z^2)^3 sobre o sólido W definido pelo cilindro x^2 + z^2 <= 1 e pelos planos y=0 e y=1. Vamos usar coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Definimos as coordenadas cilíndricas: x = rcostheta, y = y, z = rsintheta. O jacobiano da transformação é r, ou seja, dV = r,dr,dtheta,dy.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas temos x^2 + z^2 = r^2, logo o integrando (x^2 + y + z^2)^3 vira (r^2 + y)^3. Os limites são: rin[0,1], thetain[0,2pi] e yin[0,1]. Assim a integral fica
integral0^2piintegral0^1integral0^1(r^2 + y)^3,r,dy,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em y:
integral0^1(r^2 + y)^3,dy = [(r^2 + y)^44]0^1 = (r^2+1)^4 - (r^2)^44
Então a integral reduz para
integral0^2pidthetaintegral0^1 ( (r^2+1)^4 - r^8 )4,r,dr

Passo 5

Agora integramos em r: separamos
integral0^1rl((r^2+1)^4 - r^8r)dr = integral0^1r(r^2+1)^4dr - integral0^1r^9dr
Para o primeiro termo fazemos u=r^2+1, du=2r,dr:
integral0^1r(r^2+1)^4dr = 12integralu=1^2u^4du = 12cdotu^55|1^2 = 32-110 = 3110
E
integral0^1r^9dr = 110
Logo
integral0^1rl((r^2+1)^4 - r^8r)dr = 3110 - 110 = 3
Não esquecer do fator 1/4 que ficou fora, dando 3/4.

Passo 6

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi 34 ,dtheta = 34cdot 2pi = 3pi2

Resposta

3pi2

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