Calcule, usando coordenadas cilíndricas, calcule:
(a)
, onde
é o sólido limitado pelo cilindro
pelos planos
e
.
(a)
Passo 1
Estamos calculando a integral tripla de
sobre o sólido
definido pelo cilindro
e pelos planos
e
. Vamos usar coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Definimos as coordenadas cilíndricas:
,
,
. O jacobiano da transformação é
, ou seja,
.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas temos
, logo o integrando
vira
. Os limites são:
,
e
. Assim a integral fica
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Então a integral reduz para
Passo 5
Agora integramos em
: separamos
Para o primeiro termo fazemos
,
:
E
Logo
Não esquecer do fator
1/4 que ficou fora, dando
3/4 .
Passo 6
Por fim, integramos em
theta :