Calcule, usando coordenadas cilíndricas
8. integral triplaW(1+raizx^2+y^2) d x d y d z, onde: W=(x, y, z) in R^3 / raizx^2+y^2 <= z <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaWl(1+raizx^2+y^2r),dx,dy,dz sobre a região W=(x,y,z):raizx^2+y^2<= z<=1. O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas, onde vamos usar o jacobiano e definir limites bem direitinho.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos as substituições
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
o integrando vira 1+raizx^2+y^2=1+r e o elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz.

Passo 3

Para achar os limites:
  • r vai de 0 até 1 pois z<=1 e z>= r exige r<=1.
  • theta de 0 a 2pi.
  • z de r até 1.

Passo 4

Montamos então a integral iterada:
integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=r^1(1+r),r,dz,dr,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em z:
integralz=r^1(1+r),r,dz=(1+r),rl(1-rr)
Note que (1+r)(1-r)=1-r^2, então isso fica r(1-r^2)=r-r^3.

Passo 6

Agora integramos em r e theta:
integral0^2pidthetaintegral0^1(r-r^3),dr =2pil[tfrac12r^2-tfrac14r^4r]0^1 =2pil(tfrac12-tfrac14r)=2picdottfrac14=tfracpi2

Resposta

pi2

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