Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências abaixo:
sumn=0^infty x^2 ne^n^2

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^inftyx^2ne^n^2. O conteúdo envolve séries de potências e vamos usar o teste da razão para determinar onde ela converge.

Passo 2

No teste da razão, a gente analisa an=x^2ne^n^2 e computa limntoinfty|an+1an|. Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Calculando o quociente:
|an+1an| = |x|^2(n+1)/e^(n+1)^2|x|^2n/e^n^2 = |x|^2e^(n+1)^2 - n^2 = |x|^2e^2n+1
Agora tomamos o limite quando n to infty:
limntoinfty|x|^2e^2n+1 = 0

Passo 4

Como esse limite é 0<1 para qualquer x real, a série converge para todo x. Portanto o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todo o eixo real.

Resposta

R=infty, intervalo de convergência: .

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