Calcule, usando coordenadas cilíndricas, a integral da função f(x, y, z)=z sobre o volume do sólido limitado pelas superfícies z=x^2+y^2 e z=16-x^2-y^2, restrito ao segundo octante. OBS: Lembre-se de igualar o z’s para achar o raio.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla de f(x,y,z)=z sobre o volume limitado por z=x²+y² e z=16−(x²+y²), restrito ao segundo octante (x≤0, y≥0, z≥0), usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar achar primeiro a projeção no plano xy, depois estabelecer os limites em (r,θ,z) e por fim calcular a integral.

Passo 2

Igualando as superfícies z=x²+y² e z=16−(x²+y²) obtemos x²+y²=8. Em coordenadas cilíndricas isso dá r²=8, ou seja r=2√2.
No segundo octante temos x≤0 e y≥0, o que em (r,θ) implica θ variando de π/2 a π. Logo os limites são 0≤r≤2√2, π/2≤θ≤π e, para cada (r,θ), r²≤z≤16−r².

Passo 3

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
integraltheta=pi2^pi integralr=0^2raiz2 integralz=r^2^16-r^2 z,r,dz,dr,dtheta
Primeiro integramos em z: seja I_z= integralr^2^16-r^2 z,r,dz. Temos
Iz= r [z^22]z=r^2^z=16-r^2 = r2l((16-r^2)^2-(r^2)^2r)=128r-16r^3

Passo 4

Agora integramos em r:
integral0^2raiz2 (128r-16r^3),dr = [64r^2-4r^4]0^2raiz2 = 512-256 =256
Por fim, integramos em θ:
integralpi/2^pi 256,dtheta =256l(pi-tfracpi2r)=128pi

Resposta

128pi

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