Calcule, usando coordenadas cilíndricas, a integral da função
sobre o volume do sólido limitado pelas superfícies
e
, restrito ao segundo octante. OBS: Lembre-se de igualar o z’s para achar o raio.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla de f(x,y,z)=z sobre o volume limitado por z=x²+y² e z=16−(x²+y²), restrito ao segundo octante (x≤0, y≥0, z≥0), usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar achar primeiro a projeção no plano xy, depois estabelecer os limites em (r,θ,z) e por fim calcular a integral.
Passo 2
Igualando as superfícies z=x²+y² e z=16−(x²+y²) obtemos x²+y²=8. Em coordenadas cilíndricas isso dá r²=8, ou seja r=2√2.
No segundo octante temos x≤0 e y≥0, o que em (r,θ) implica θ variando de π/2 a π. Logo os limites são 0≤r≤2√2, π/2≤θ≤π e, para cada (r,θ), r²≤z≤16−r².
No segundo octante temos x≤0 e y≥0, o que em (r,θ) implica θ variando de π/2 a π. Logo os limites são 0≤r≤2√2, π/2≤θ≤π e, para cada (r,θ), r²≤z≤16−r².
Passo 3
A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Primeiro integramos em z: seja I_z=
. Temos
Passo 4
Agora integramos em r:
Por fim, integramos em θ: