- Find the temperature
in a rod of length
if the initial temperature is
throughout and if the ends
and
are insulated.
- Solve Problem 3 if
and
[
f(x)=
f(x)=
Passo 1
Estamos lidando com a equação do calor na barra de comprimento
, com condições de contorno isoladas em
e
(ou seja,
) e temperatura inicial
, onde
Para resolver, vamos usar separação de variáveis e expandir
em séries de cossenos (condições de Neumann).
Passo 2
Começamos propondo solução por separação de variáveis:
. Ao inserir na equação
e separar as variáveis, obtemos o problema de autovalores para
com
. As autofunções resultantes são
com autovalores
. A solução geral fica então
Passo 3
Os coeficientes são dados por projeção da condição inicial. Primeiro,
é a média de
em
:
Passo 4
Em seguida, para
,
Para calcular essa integral, fazemos por partes: seja
,
,
. Então
,
, e
Passo 5
Substituindo
e simplificando, obtemos
Passo 6
Portanto, a solução final é