1. Find the temperature u(x, t) in a rod of length L if the initial temperature is f(x) throughout and if the ends x=0 and x=L are insulated.
  2. Solve Problem 3 if L=2 and
[
f(x)= x, & 0

Passo 1

Estamos lidando com a equação do calor na barra de comprimento L=2, com condições de contorno isoladas em x=0 e x=2 (ou seja, ux(0,t)=ux(2,t)=0) e temperatura inicial u(x,0)=f(x), onde f(x)=x,&0 Para resolver, vamos usar separação de variáveis e expandir f(x) em séries de cossenos (condições de Neumann).

Passo 2

Começamos propondo solução por separação de variáveis: u(x,t)=X(x)T(t). Ao inserir na equação ut=uxx e separar as variáveis, obtemos o problema de autovalores para X(x) com X'(0)=X'(2)=0. As autofunções resultantes são cosl(npi x/2r) com autovalores lambdan=(npi/2)^2. A solução geral fica então u(x,t)=A0+sumn=1^infty An e^-(npi/2)^2tcosl(tfracnpi x2r)

Passo 3

Os coeficientes são dados por projeção da condição inicial. Primeiro, A0 é a média de f(x) em [0,2]: A0=12integral0^2f(x),dx=12integral0^1x,dx=12cdot12=14

Passo 4

Em seguida, para n>=1, An=22integral0^2f(x)cosl(tfracnpi x2r)dx=integral0^1 xcosl(tfracnpi x2r)dx Para calcular essa integral, fazemos por partes: seja a=tfracnpi2, u=x, dv=cos(ax)dx. Então du=dx, v=tfracsin(ax)a, e
integral0^1 xcos(ax)dx=l[xsin(ax)ar]0^1-integral0^1sin(ax)adx=sin(a)a-1acdot1-cos(a)a=asin(a)-(1-cos(a))a^2

Passo 5

Substituindo a=tfracnpi2 e simplificando, obtemos
An=4n^2pi^2l(tfracnpi2sintfracnpi2-(1-costfracnpi2)r)

Passo 6

Portanto, a solução final é
u(x,t)=14+sumn=1^infty 4n^2pi^2l(tfracnpi2sintfracnpi2-(1-costfracnpi2)r)expl(-(npi/2)^2tr)cosl(tfracnpi x2r)

Resposta

u(x,t)=14+sumn=1^infty 4n^2pi^2l(tfracnpi2sintfracnpi2-(1-costfracnpi2)r)e^-(npi/2)^2tcosl(tfracnpi x2r)

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