Encontre o volume do sólido nos segundo e terceiro octantes, para z desde zero até 3 , e x^2+y^2=9.

Passo 1

Nesse exercício, queremos encontrar o volume do sólido definido por x^2+y^2<=9, z variando de 0 até 3, e ainda restrito aos segundos e terceiros octantes (ou seja, x<=0 e z>=0). O conteúdo envolve cálculo de volume via coordenadas cilíndricas e integração tripla.

Passo 2

Para simplificar a descrição da região, usamos coordenadas cilíndricas: x=rcostheta, y=rsintheta e z=z. A condição x^2+y^2<=9 vira 0<= r<=3, e o semi-círculo com x<=0 corresponde a theta variando de tfracpi2 até tfrac3pi2. Além disso, z vai de 0 a 3.

Passo 3

O elemento de volume em cilíndricas é dV=r,dr,dtheta,dz. Logo, montamos a integral tripla para o volume:
[
V = \int_{z=0}^{3} \int_{\theta=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{r=0}^{3} r ,dr,d\theta,dz.
]

Passo 4

Calculamos a integral em cada variável de forma sequencial:
[
\int_{0}^{3} r,dr = \left[\tfrac{r2}{2}\right]_{0}{3} = \tfrac{9}{2},
]
[
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \tfrac{9}{2} ,d\theta = \tfrac{9}{2}\bigl(\tfrac{3\pi}{2}-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\tfrac{9\pi}{2},
]
[
\int_{0}^{3} \tfrac{9\pi}{2} ,dz = \tfrac{9\pi}{2} \times 3 = \tfrac{27\pi}{2}.
]

Resposta

27pi2

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