Encontre o volume do sólido nos segundo e terceiro octantes, para
desde zero até 3 , e
.
Passo 1
Nesse exercício, queremos encontrar o volume do sólido definido por
,
variando de 0 até 3, e ainda restrito aos segundos e terceiros octantes (ou seja,
e
). O conteúdo envolve cálculo de volume via coordenadas cilíndricas e integração tripla.
Passo 2
Para simplificar a descrição da região, usamos coordenadas cilíndricas:
,
e
. A condição
vira
, e o semi-círculo com
corresponde a
variando de
até
. Além disso,
vai de 0 a 3.
Passo 3
O elemento de volume em cilíndricas é
. Logo, montamos a integral tripla para o volume:
[
V = \int_{z=0}^{3} \int_{\theta=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{r=0}^{3} r ,dr,d\theta,dz.
]
[
V = \int_{z=0}^{3} \int_{\theta=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{r=0}^{3} r ,dr,d\theta,dz.
]
Passo 4
Calculamos a integral em cada variável de forma sequencial:
[
\int_{0}^{3} r,dr = \left[\tfrac{r2}{2}\right]_{0}{3} = \tfrac{9}{2},
]
[
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \tfrac{9}{2} ,d\theta = \tfrac{9}{2}\bigl(\tfrac{3\pi}{2}-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\tfrac{9\pi}{2},
]
[
\int_{0}^{3} \tfrac{9\pi}{2} ,dz = \tfrac{9\pi}{2} \times 3 = \tfrac{27\pi}{2}.
]
[
\int_{0}^{3} r,dr = \left[\tfrac{r2}{2}\right]_{0}{3} = \tfrac{9}{2},
]
[
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \tfrac{9}{2} ,d\theta = \tfrac{9}{2}\bigl(\tfrac{3\pi}{2}-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\tfrac{9\pi}{2},
]
[
\int_{0}^{3} \tfrac{9\pi}{2} ,dz = \tfrac{9\pi}{2} \times 3 = \tfrac{27\pi}{2}.
]