Use coordenadas cilíndricas para calcular a integral da função
sobre o volume do sólido limitado pelas superfícies
e
, restrito ao terceiro octante.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral tripla
sobre o sólido limitado por
e
, restrito ao terceiro octante (isto é,
,
,
). O conteúdo envolvido é integração em coordenadas cilíndricas; vamos usar a transformação
,
e o fator de escala
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, a função fica
e o volume é dado por
. Logo, o integrando total é
Passo 3
Precisamos determinar os limites: como
vai de
até 9, em cilíndricas
vai de
a 9; a curva de interseção em
dá
; e no terceiro octante
varia de
a
. Portanto, a integral tripla é
Passo 4
Primeiro integramos em
, que é simples, pois
independe de
:
Passo 5
Agora separamos as integrais em
e
:
Passo 6
Calculando cada parte:
Passo 7
Multiplicando os resultados vem
Resposta
-\nfrac{162}{5}