Use coordenadas cilíndricas para calcular a integral da função
f(x, y, z)=y sobre o volume do sólido limitado pelas superfícies z=x^2+y^2 e z=9, restrito ao terceiro octante.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral tripla integral triplaV y,dV sobre o sólido limitado por z = x^2 + y^2 e z=9, restrito ao terceiro octante (isto é, x<=0, y<=0, z>=0). O conteúdo envolvido é integração em coordenadas cilíndricas; vamos usar a transformação x = rcostheta, y = rsintheta e o fator de escala dV = r,dr,dtheta,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, a função fica y = rsintheta e o volume é dado por dV = r,dr,dtheta,dz. Logo, o integrando total é
rsintheta times r = r^2sintheta,;

Passo 3

Precisamos determinar os limites: como z vai de x^2+y^2 até 9, em cilíndricas z vai de r^2 a 9; a curva de interseção em z=9 r=3; e no terceiro octante theta varia de pi a 3pi/2. Portanto, a integral tripla é
integraltheta=pi^3pi/2 integralr=0^3 integralz=r^2^9 r^2sintheta,dz,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z, que é simples, pois r^2sintheta independe de z:
integralz=r^2^9 r^2sintheta,dz = r^2sintheta,(9 - r^2)

Passo 5

Agora separamos as integrais em r e theta:
integralpi^3pi/2sintheta,dtheta times integral0^3 (9r^2 - r^4),dr

Passo 6

Calculando cada parte:
integralpi^3pi/2sintheta,dtheta = [-costheta]pi^3pi/2 = -1,
integral0^3 (9r^2 - r^4),dr = l[3r^3 - r^55r]0^3 = 81 - 2435 = 1625

Passo 7

Multiplicando os resultados vem
-1 times 1625 = -1625

Resposta

-\nfrac{162}{5}

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